Définition

Une fonction affine est une fonction définie sur R par f (x) = mx + p où m et p sont deux réels donnés.

Exemple :

f : R → R
x → 2x + 3

f (x) = 2x + 3

Remarques :

  • Si p = 0, f (x) = mx
    f est une fonction linéaire.
  • Si m = 0, f (x) = p
    f est une fonction constante.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine définie sur R par f (x) = mx + p est la droite (d) d'équation y = mx + p.

m est le coefficient directeur de (d).
p est l'ordonnée à l'origine (c'est l'ordonnée du point d'abscisse 0 de (d)).

(d) a pour équation y = mx + p

Exemple :

f (x) = 2x + 3
f est une fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d'équation y = 2x + 3.

x10
y53

Sens de variation d'une fonction affine

Propriété :

f : x → mx + p définie sur R (m ≠ 0)

  • Si m > 0, f est croissante sur R.
  • Si m < 0, f est décroissante sur R.

Démonstration :

Soient a et b deux réels tels que a < b.
On cherche le signe de f (b) – f (a)

f (b) – f (a) = mb + p – (ma + p)
= mb + p – ma – p
= m (b – a)

On sait que b > a donc b – a > 0

  • Si m > 0, m (b – a) > 0
    càd f (b) – f (a) > 0
    f (b) > f (a)

Donc si a < b alors f (b) > f (a)
et m > 0

On a démontré que si m > 0, f est croissante sur R.

  • Si m < 0, m (b – a) < 0
    càd f (b) – f (a) < 0
    f (b) < f (a)

Donc si a < b alors f (b) < f (a)
et m < 0

On a démontré que si m < 0, f est décroissante sur R.

Fonctions affines et proportionnalité

Théorème :

f est un fonction affine non constante si et seulement si l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable.

Démonstration :

  • Soit f une fonction affine non constante.
    f (x) = mx + b, m ≠ 0
    Soient a et b deux réels quelconques.
    f (b) – f (a) = (mb + p) – (ma + p)
    = mb + p – mb – p
    = m (b – a)
    Donc si a et b sont distincts,

    Conclusion : f (b) –f (a) et b – a sont proportionnels.

  • Soit f une fonction définie sur R telle que f (b) – f (a) et b – a soient proportionnels.

    Soit m le coefficient de proportionnalité.
    Donc pour tous les réels a et b distincts.

    f (b) – f (a) = m (b – a)

    En particulier :

    Pour b = x
    a = 0
    f (x) – f (0) = m (x – 0)
    f (x) – f (0) = mx
    f (x) = mx + f (0)          p = f (0)

    Donc f est un fonction affine non constante.

Exemple :

Déterminer la fonction affine f telle que :
f (2) = –3
f (–1) = 5

f est une fonction affine donc pour tout réel x, f (x) = mx

On détermine p en écrivant que f (2) = –3

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Olivier

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