Le plan est muni d'un repère .

Théorème 1

  • Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme x = k avec k un réel.
  • Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + pm et p sont des réels.

Cette équation est l'équation réduite de la droite ; m s'appelle le coefficient directeur de la droite et p l'ordonnée à l'origine.

Démonstration :

Soit (d) une droite et A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points distincts de (d).

M (x ; y) ∈ (d) ssi  et sont colinéaires.

 

La condition de colinéarité s'écrit :

 

(x – xA)(yB – yA) – (xB – xA)(y – yA) = 0
A et B sont distincts donc :

  • soit xA ≠ xB
  • soit xA = xB mais yA ≠ yB
  • si xA ≠ xB   (x – xA)(yB – yA) = (xB – xA)(y – yA)

 

Cette équation est de la forme y = mx + p

avec et

  • si xA = xB et yA ≠ yB

Donc x = xA

Cette équation est de la forme x = k

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Théorème 2

  • L'ensemble des points M (x ; y) tel que x = k est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
  • L'ensemble des points M (x ; y) tel que y = mx + p est la droite qui passe par le point de coordonnées (0 ; p) et qui admet comme vecteur directeur le vecteur de coordonnées (1 ; m)

Démonstration :

  • A (k ; 0) et M (k ; y) appartiennent à l'ensemble des points M (x ; y) tel que x = k

donc

donc

Donc M appartient à la droite parallèle à l'axe des ordonnées.

  • L'ensemble des points M (x ; y) tels que y = mx + p passe par les deux points distincts.

A (0 ; p) et B (1 ; m + p)

donc

donc

 

Donc M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur (1 ; m)

Théorème 3

En cours de math, deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles entre elles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Démonstration :

(d) : y = mx + p de vecteurs directeurs (1 ; m)
(d) : y = m'x + p' de vecteurs directeurs (1 ; m')

(d) // (d') ⇔ et colinéaire
⇔ 1 × m' – 1 × m = 0
⇔ m' = m

Exemples :

  • (d) : 3x – 2y + 1 = 0
    L'équation réduite de (d) est(d) a pour coefficient directeur
    (d) a pour vecteur directeur (1 ; )
  • Trouver une équation de la droite (Δ) passant par A (–1 ; 2) et B (2 ; –5)
    M (x ; y) ∈ Δ

donc

donc

M (x ; y) ∈ Δ ⇔ et sont colinéaires

⇔ –7 (x + 1) – 3 (y – 2) = 0
⇔ –7x – 3y – 1 = 0

L'équation réduite de (Δ) est .
Un vecteur directeur de (Δ) est .
Le coefficient directeur de (Δ) est .

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !