Cercle trigonométrique

Orientation d'un cercle :

Par convention, le sens positif (ou direct) est le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Définition :

Un cercle trigonométrique est un cercle orienté de rayon 1.

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C'est parti

Définition du cosinus et du sinus d'un réel

On munit le plan d'un repère orthonormé .
On considère le cercle trigonométrique de centre O.

K (1 ; 1)

On enroule la droite (d) graduée autour de .
Pour tout réel x le point d'abscisse x de (d) vient s'appliquer en un point M unique de  , on dit que M est le point image de x.

Investissement :

Tout point M' de est l'image de tous les réels du type x' + 2kπ avec x' ∈ R et k ∈ Z.

Définition :

Soit un repère orthonormé et le cercle trigonométrique de centre O. M est le point de image du réel x.

Le cosinus de x noté cos x est le réel égal à l'abscisse de M.
Le sinus de x noté sin x est le réel égal à l'ordonnée de M dans le repère . dans le repère

Donc le repère , le point M a pour coordonnées (cos x ; sin x).

Remarque :

Au collège, on définit uniquement le cosinus et le sinus d'un angle aigu.

Dans le triangle OHK, rectangle en K, on a :

Propriété :

Pour tout réel x, on a :

  • –1 ≤ cos x ≤ 1
  • –1 ≤ sin x ≤ 1
  • (cos x)2 + (sin x)2 = 1
    ce qui s'écrit : cos2 x + sin2 x = 1
  • M et M' ont les mêmes abscisses : cos (–x) = cos x
    M et M' ont des abscisses opposées : sin (–x) = sin x
  • cos (x + 2kπ) = cos x avec k ∈ Z
  • sin (x + 2kπ) = sin x avec k ∈ Z
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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !