Comment la calculer ?

Définition

La forme canonique permet de résoudre une équation de la forme ax²+bx+c = 0, lorsque le membre de gauche n'est pas factorisable de façon évidente, et qu'on ne connait pas la méthode qui utilise le discriminent.

Superprof

Exemple

Résoudre x²+4x-7=0

Etape 1 :
Ici , on ne peut pas factoriser le membre de gauche car il n'y a ni facteur commun, ni identité remarquable, ni racine évidente.
On considère donc uniquement les deux premiers termes « x²+4x ». Cette expression peut constituer le début de l'identité remarquable « a²+2ab+b² », avec a²=x², et 2ab=4x

On va donc créer artificiellement cette identité remarquable, en ajoutant le terme manquant « b² », qui ne figure pas dans le calcul.

2ab=4x=2*x*2
donc a=x, et b=2 et b²=4

Attention :
Si on ajoute « b² » au côté gauche, il faut le retrancher ensuite afin que l'équation reste la même.
On obtient donc :
x²+4x+4-4-7=0
a²+2ab+b²-4-7=0

Etape 2 :
On peut à présent factoriser grâce à l'identité remarquable
« a ²+2ab+b² =(a+b)² »
(x+2)²-4-7=0
(x+2)²-11=0

Etape 3 :
On obtient à présent une expression du type « A²-B² » avec A=(x+2) et B=√(11)
On applique donc l'identité remarquable :
« A²-B² = (A-B)(A+B):
(x+2)²-(√(11))²=0
[(x+2)-√(11)][(x+2)+√(11)]=0

Etape 4 :
On résout alors l'équation-produit obtenue:
[(x+2)-V(11)][(x+2)+V(11)]=0

soit (x+2)-V(11)=0
on a ainsi x=V(11)-2

ou bien

soit (x+2)+V(11)=0
on a ainsi x=-V(11)-2

L'équation a donc deux solutions :
S={(-V(11)-2) ;(V(11)-2)}

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Olivier

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