Addition

♦ Si   a < b   alors   a + c < b + c.

♦ Si   a < b   alors   a - c < b - c.

♦ Si   a < b   et   c < d   alors   a + c < b + d.

Exemples :

Si   x < 2   alors :

x + 3 < 2 + 3

x + 3 < 5.

Si   y < -5   alors :

y + 2 < -5 + 2

y + 2 < -3.

Si   x < 2   et   y < 5   alors :

x + y < 2 + 5

x + y < 7.

Multiplication

♦ Si   a < b   alors pour tout nombre c positif non nul   ac < bc   et   .

♦ Si   a < b   alors pour tout nombre c négatif non nul   ac > bc   et   .

Exemples :

Si   x < y   alors   3x < 3y.

Si   x > y   alors   -2x < -2y.

Si   a < b   alors   .

Si   m < n   alors   .

Carré et racine carrée

♦ Si   a < b   alors   a² < b²   avec a et b positifs.

Démonstration :

a et b sont positifs et a < b.

a² - b² = (a - b) (a + b)                   (a - b) est négatif   et   (a + b) est positif

Donc : a² - b² < 0      a² < b².

La réciproque :

a² < b²

a² - b² < 0

(a - b) (a + b) < 0.

Or a + b > 0.

Donc a - b < 0   et   a < b.

♦ Si   a < b   alors     avec a et b positifs.

Démonstration :

Deux nombres positifs sont dans le même ordre que leur carré.

a < b.

Exemple :

y > 0   et y² < 4.

Donc   y² < 4   donc     d'où   y < 2.

Inverse

♦ Si   a < b   alors      avec a et b positifs non nuls.

Démonstration :

On sait que   a < b   et a et b sont positifs non nuls.

Or   ab 0   et   b - a > 0.

Donc     et   .

D'où   .

Exemple :

Si   x < 2   alors   .

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Olivier

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