Définition

Soit un vecteur et k un réel.
On appelle produit du vecteur par le réel k le vecteur k définie par :

  • Si ou si k = 0, k.
  • Si et si k ≠ 0, alors :
    • k et ont la même direction.
    • Si k > 0
      k et ont le même sens.

      Si k < 0
      k et sont de sens contraires.


    • càd 
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Règles de calcul

Pour tous les vecteurs et ,
pour tous les réels a et b, on a  :

(α) (a + b) = a + b

(β) a ( + ) = a + b

(γ) a (b) = (ab)

(δ) a =  , si et seulement si a = 0 ou

Exemples :

  • 2 + 9 = (2 + 9) = 11
  • 7 + 7 = 7 ( + )
    = 7

    = –3
  • –7 = équivaut à : =
    càd A et M sont confondus

Remarques :

  • On peut écrire mais on n'écrit pas .
  • La division de vecteurs n'est pas possible. On écrit : .
    Mais on n'écrit pas : .

Milieu d'un segment

Définition

I est le milieu du segment [ AB ] si

Théorème 1 :

Les propositions suivantes sont équivalentes.

(P1) I est le milieu de [ AB ]
(P2) ou encore
(P3)

(P4) pour tout point M du plan,

Théorème 2 :

Soit ABC un triangle
M milieu de [ AB ]
N milieu de [ AC ]

Remarque :

Cette expression vectoriel résume à la fois le parallélisme des droites ( MN ) et ( BC ) et le fait que (cf. théorème de la droite des milieux vu en classe de 4e).

Démonstration :

(d'après la relation de Chasles)

Or : (car M milieu de [ BA ])     

CQFD

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !