1) Rappel

Définition :

Comparer deux réels, c'est dire s'ils sont égaux ou sinon dire lequel est le plus grand ou le plus petit.

Soit a ∈ et b ∈ :
a ≤ b signifie que b – a ∈ +
c'est-à-dire b – a ≥ 0.

Pour comparer deux réels, on étudie le signe de leur différence.

Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
Greg
5
5 (116 avis)
Greg
130€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (80 avis)
Anis
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (107 avis)
Houssem
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (91 avis)
Laurent
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (45 avis)
Pierre-thomas
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Grégory
5
5 (89 avis)
Grégory
115€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Jules
5
5 (33 avis)
Jules
70€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (21 avis)
Jean-charles
20€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (116 avis)
Greg
130€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (80 avis)
Anis
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (107 avis)
Houssem
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (91 avis)
Laurent
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (45 avis)
Pierre-thomas
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Grégory
5
5 (89 avis)
Grégory
115€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Jules
5
5 (33 avis)
Jules
70€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (21 avis)
Jean-charles
20€
/h
Gift icon
1er cours offert !
C'est parti

2) Propriétés

a) Ordre et addition

Quels que soient les réels a, b, c :
si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c.

Additionner (ou soustraire) un même nombre à chaque membre d'une inégalité ne change pas le sens de l'inégalité.

Exemples :

  • π > 3 donc π – 1 > 2
  • si x + 3 > –1 alors x > –4

b) Ordre et multiplication

Quels que soient les réels a, b, c :

  • si a ≤ b et c > 0, alors ac

≤ bc ;

  • si a

≤ b et c > 0, alors ac ≥ bc.

Multiplier ou diviser chaque membre d'une inégalité par :

  • un même nombre strictement positif ne change pas le sens de l'inégalité ;

  • un même nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.

Exemples :

  • π > 3 donc –2π < –6
  • donc

c) Ordre et inverse

Soient a et b deux réels

Si 0 < a ≤ b, alors

Démonstration :

On veut montrer que

On sait que 0 < a ≤ b

On cherche le signe de

On sait que :

  • a ≤ b  donc  b – a ≥ 0
  • a > 0
    b > 0  donc ab > 0

Donc , dont le numérateur et le dénominateur sont positifs, est positif.

d) Ordre et racine carrée

Soient a et b deux réels

Si 0 < a ≤ b, alors

Démonstration :

On sait que :

  • a ≤ b  donc  a – b ≤ 0

On en déduit que

Donc

Exemples :

e) Ordre et carré

Soient a et b deux réels.

Si 0 ≤ a ≤ b  alors a2 ≤ b2

Démonstration :

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

a + b ≥ 0
a – b ≤ 0    donc a2 – b2 ≤ 0
a2 ≤ b2

3) Comparaison de a, a2 et a3

Si a est positif :

Théorème :

  • Si a ≥ 1, alors a ≤ a2 ≤ a3
  • Si 0 < a ≤ 1, alors a3 ≤ a2 ≤ a

Démonstration :

  • On suppose que a ≥ 1

On multiplie a (qui est positif) chaque membre de l'inégalité

a × a ≥ 1 × a
Donc a2 ≥ a

On multiplie à nouveau par a

a2 × a ≥ a × a
Donc a3 ≥ a2

On a donc a3 ≥ a2 ≥ a

  • On suppose que 0 < a ≤ 1

a ≤ 1

On multiplie par a (qui est positif)

a × a ≤ 1 × a
Donc a2 ≤ a

On multiplie à nouveau par a

a2 × a ≤ a × a
Donc a3 ≤ a2

On a donc a3 ≤ a2 ≤ a

>

La plateforme qui connecte profs particuliers et élèves

Vous avez aimé cet article ? Notez-le !

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 4,00 (4 note(s))
Loading...

Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !