Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Si a < b alors f (a) < f (b)

Définition 1 :

f est strictement croissante sur I si, pour tous les réels a et b de I tels que a < b alors f (a) < f (b).

Définition 2 :

f est croissante sur I si, pour tous les réels a et b de I tels que a ≤ b alors f (a) ≤ f (b).

Définition 3 :

f est strictement décroissante sur I si, pour tous les réels a et b de I tels que a < b alors f (a) > f (b).

Définition 4 :

f est décroissante sur I si, pour tous les réels a et b de I tels que a ≤ b alors f (a) ≥ f (b).

Définition 5 :

f est constante sur I lorsque pour tous les réels a et b de I, f (a) = f (b).

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Sens de variation

Etudier le sens de variation d'une fonction f définie sur , c'est préciser les intervalles sur lesquels elle est croissante, les intervalles sur lesquels elle est décroissante et les intervalles sur lesquels elle est constante.

Exemple :

f (x) = x2 – 3x + 2

définie sur f = [ –3 ; 5 ]

f (–3) = (–3)2 – 3 × (–3) + 2
= 9 + 9 + 2
= 20

f () = –0,25

f (5) = 12

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Extremum

Graphiquement :

  • Le maximum est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe sur un intervalle donné.
  • Le minimum est l'ordonnée du point le bas de la courbe sur une intervalle donné.

Exemples :

1) a) Sur [ 5 ; 3 ]
Pour tout x ∈ [ 5 ; 3 ], f (x) ≤ 4 et 4 = f (–5)

Donc 4 est le maximum de f sur [ –5 ; 3 ]. Il est obtenu en x0 = –5.

b) Sur [ –1 ; 2 ]
Pour tout x ∈ [ –1 ; 2 ], f (x) ≤ 3 et 3 = f (0)

Donc 3 est le maximum de f sur [ –1 ; 2 ]. Il est obtenu en x0 = 0.

c) Sur [ –1 ; 3 ]
Pour tout x ∈ [ –1 ; 3 ], f (x) ≤ 3 et 3 = f (0) = f (3)

Donc 3 est le maximum de f sur [ –1 ; 3 ]. Il est obtenu en x0 = 0 et x1 = 3.

2) a) Sur [ –5 ; 3 ]
Pour tout x ∈ [ –5 ; 3 ], f (x) ≥ –1 et –1 = f (2)

Donc –1 est le minimum de f sur [ –5 ; 3 ]. Il est obtenu en x0 = 2.

b) Sur [ –5 ; 0 ]

Pour tout x ∈ [ –5 ; 0 ], f (x) ≥ 1 et 1 = f (–1)

Donc 1 est le minimum de f sur [ –5 ; 0 ]. Il est obtenu en x0 = –1.

c) Sur [ –1 ; 3 ]

Pour tout x ∈ [ –1 ; 3 ], f (x) ≥ –1 et –1 = f (2)

Donc –1 est le minimum de f sur [ –1 ; 3]. Il est obtenu en x0 = 2.

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

a) f admet un minimum en x0 sur I, si pour tout x ∈ I, f (x0) ≤ f (x)
Le minimum est m = f (x0).

b) f admet un maximum en x0 sur I, si pour tout x ∈ I, f (x0) ≥ f (x)
Le maximum est M = f (x0).

c) le maximum M et le minimum m de f sur I sont les extrêmes de f sur I.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !