Quelles sont les variations de cette courbe sur l'infini ?

Définition

La fonction inverse est la fonction définie sur R* par .

Superprof

Sens de variation

Propriété :

La fonction inverse est décroissante sur ] –∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [.

Démonstration :

  • sur ] 0 ; +∞ [

Soient a et b deux réels de ] 0 ; +∞ [ tels que a < b

Donc on a : 0 < a < b

En cours de maths, on cherche le signe de f (b) - f (a)

 

Or a < b, donc a– b < 0
0 < a < b, donc ab > 0

Donc :

Donc f (b) – f (a) < 0
càd f (b) < f (a)

On a montré que f est décroissante sur ] 0 ; +∞ [.

  • sur ] –∞ ; 0 [

Soient a et b deux réels de ] –∞ ; 0 [ tels que a < b

Donc on a : a < b < 0

On cherche le signe de f (b) - f (a)

 

Or a < b, donc a – b < 0
a < b < 0, donc ab > 0

Donc :

Donc f (b) – f (a) < 0
càd f (b) < f (a)

On a montré que f est décroissante sur ] –∞ ; 0 [.

Tableau de variation :


la double barre indique que la
fonction inverse n'est pas définie pour 0

 

Représentation graphique

x–4–3–2–101234
y–0,25–0,33–0,5–110,50,330,25

La courbe représentative est une hyperbole.

Propriété :

La courbe représentation de la fonction inverse admet un centre de symétrie qui est l'origine du repère.

Pour tout réel x non nul, f (–x) = –f (x).
On dit que la fonction f est impaire.

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Olivier

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