Fiche de mathématique

Définition:

La fonction affine f de coefficients a et b, associe à tout nombre x le nombre ax+b. Notation : où ax+b est l'image du nombre x. Les nombres a et b sont des nombres constants. Avec la notation fonctionnelle, nous écrivons : f(x)=ax+b Exemples :

a. f(x)=3x+4 où a=3 et b=4 b. Lorsqu'une personne prend un taxi, dès son installation à bord du véhicule elle doit déjà un forfait (de 4€ par exemple), auquel va s'ajouter une somme calculée en fonction de la distance parcourue (de 2€ par kilomètre par exemple). Pour calculer la somme S à payer pour une distance de 5km, vous devez écrire: S=2×5+4égalité dans laquelle le nombre en rouge représente une distance parcourue. Cette distance est variable. Désignons par x cette distance, l'égalité devient: S=2x+4Cette égalité est la partie de la fonction affine f(x)=2x+4 qui concerne les valeurs positives de x (une distance est toujours un nombre positif). Dans ce cas le coefficient a est le prix au kilomètre, et le coefficient b est la valeur du forfait (somme à prévoir dès le départ). Cette situation est typique des fonctions affines. Toute situation dans laquelle une valeur constante doit être ajoutée (ou retranchée) à une valeur variable (de degré 1, c'est à dire, pas de x2 ou de x3...) a de fortes chances de pouvoir s'écrire sous la forme d'une fonction affine.

D'autres situations:

- Le salaire d'un représentant (en voiture, en tapis, en casseroles,..) : salaire fixe mensuel (coefficient b)auquel s'ajoute une prime par objet vendu (coefficient a) multipliée par le nombre d'objets vendus (c'est la variable x). - Un abonnement à un fournisseur d'accès Internet. Un forfait d'un certain nombre d'heures d'accès (coefficient b) auquel s'ajoutent éventuellement les minutes de dépassement (c'est la variable x) facturées à un tarif par minute (coefficient a).

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Représentation graphique:

Soit la fonction affine f(x)=2x-3. Calculons quelques images et les coordonnées des points représentatifs. Plaçons ces points dans le repère d'origine O et d'axes orthogonaux: nous constatons qu'ils sont alignés.

 

valeurs de xf(x)=images de xPoints
0-3A (0 ; - 3)
22×2-3 = 1B (2 ; 1)
-12×(-1)-3 = -5C (-1 ; -5)
12×1-3 = -1D (1 ; -1)
3/22×(3/2)-3 = 0E (3/2 ; 0)

 

D'une façon générale: La fonction f(x)=ax+b est représentée, dans le plan muni d'un repère, par une droite parallèle à la droite représentant la fonction linéaire g(x)=ax. Pour démontrer:

- Dans un repère d'origine O et d'axes (x'x) et (y'y), tracer une droite (d) passant par O. (d) représente une fonction linéaire g(x)=ax (a est quelconque pour les besoins d'une démonstration générale). - Prendre un point B sur (y'y) d'ordonnée b (qui est un nombre quelconque). - Avec la translation qui amène O sur B (ou de vecteur ), translater (d). Soit (D) la droite image. - Prendre un point quelconque P sur (x'x) d'abscisse x. La droite qui passe par P parallèlement à (y'y), coupe (d) en N de coordonnées (x ; ax) et (D) en M de coordonnées(x ; yM). - Calculer yM. (voir la Démonstration) Remarques: - La fonction g(x)=ax est appelée fonction linéaire associée à la fonction affine f(x)=ax+b. Les représentations de ces deux fonctions sont des droites parallèles. - Le coefficient a est le coefficient directeur des fonctions f et g. - b est appelée ordonnée à l'origine car le point A (voir la figure ci dessus) intersection de la droite représentative avec l'axe (y'y) a pour coordonnées (0;b) où 0 est l'abscisse de l'origine du repère. - Le point E (voir la figure ci dessus) intersection de (D) avec l'axe (x'x) a pour ordonnée 0. Son abscisse xE est telle que axE+b=0 d'où axE= -b et xE= -b/a (pour l'exemple: -(-3)/2=3/2). Le point d'intersection de la droite représentant la fonction affine f(x)=ax+b a donc pour coordonnées (-b/a;0).

Propriétés:

4. Proportionnalité des accroissements: a) Qu'est qu'un accroissement ? Dans une situation donnée nous parlons d'accroissement lorsqu'entre une valeur de départ (valeur initiale) et une valeur d'arrivée (valeur finale), nous constatons une augmentation ou une diminution. Lorsqu'il n'y a aucun changement nous disons que la valeur est stable ou encore que l'accroissement est nul (égal à 0). Un accroissement est calculé en faisant : valeur finale - valeur initiale Une augmentation est appelée accroissement positif alors qu'une diminution est appelée accroissement négatif. Pour symboliser cette notion, appelons x0 la valeur initiale et x1 la valeur finale. L'accroissement correspondant est donc x1 - x0. Par exemples: x0= 2 et x1=-3 , l'accroissement est -3-2=-5 (accroissement négatif). x0= -2 et x1=3 , l'accroissement est 3 -(-2)=3+2=5 (accroissement positif). -b) Pour une fonction affine: Soit la fonction affine f(x)=ax+b. Si x augmente (ou diminue) que devient son image f(x)? Choisissons une valeur initiale arbitraire x0 et une valeur finale toute aussi arbitraire x1. L'accroissement est donc: x1 -x0. Les images de ces valeurs sont: f(x0)=ax0+b et f(x1)=ax1+b. L'accroissement sur les images est f(x1)-f(x0) c'est à dire:

(ax1+b) - (ax0+b)=ax1+b-ax0-b donc : f(x1)-f(x0)=ax1-ax0 et : f(x1)-f(x0)=a(x1-ax0)

Observons bien ce résultat. Il montre que l'accroissement des images (c'est à dire (f(x1)-f(x0)) est obtenu en multipliant l'accroissement des valeurs par le coefficient directeur a de la fonction affine. Exemple: si la fonction affine est f(x)=2x+1 et que la valeur de x passe de 3 à 1 alors l'accroissement des images est : f(1)-f(3)=2(1-3)= -4. Quelques soient les valeurs initiales et finales de x, l'accroissement des images est 2 fois l'accroissement des valeurs de x. Ce qui correspond à une situation de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur de la fonction affine: Les accroissement des images sont proportionnels aux accroissements des antécédents. Le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur de la fonction affine.Notez bien : si vous connaissez deux nombres et leurs images par une fonction affine inconnue, en utilisant la propriété ci dessus, vous pouvez calculer simplement le coefficient directeur de cette fonction affine. -c) Sur une représentation graphique: Reprenons la fonction affine f(x)=2x+1 et représentons la dans un repère d'axe (x'x) et (y'y):

 

Un autre exemple est représenté: lorsque x passe de -2 à 4, les images passent de -3 à 9. A un accroissement de 4-(-2)=6 correspond un accroissement de 9-(-3)=12. ce qui correspond à 6 multiplié par le coefficient directeur 2.

 

2 .Deux fonctions affines de même coefficient directeur: Soient les fonctions f(x)=ax+b et g(x)=ax+b'. Ces deux fonctions affines ont même coefficient directeur a. Nous avons la propriété suivante: Si deux fonctions affines ont même coefficient directeur alors elles sont représentées par deux droites parallèles. Ce qui peut encore s'énoncer dans un repère du plan : Si deux droites ont même coefficient directeur alors elles sont parallèles.Pour démontrer: - Dans le repère d'origine O et d'axes (x'x) et (y'y), tracer deux droites (D) et (D') non parallèles à l'axe (y'y) (les tracer sensiblement parallèle pour mieux lire la figure). (D) et (D') coupent respectivement (y'y) en B et B'. On sait que (D) et (D') représentent des fonctions affines : soient (D) : f(x)=ax+b et (D') : g(x)= ax+b'. - Par le point unitaire I ( sur (x'x) d'abscisse 1 ) tracer la droite parallèle à (y'y). Cette droite coupe (D) et (D') respectivement en A et A'. - Calculer les coordonnées des milieux de [A'B] et [AB']. - En déduire que ABB'A' est un parallélogramme... (voir la Démonstration)Démonstration).

3 Droites représentatives perpendiculaires: Si , dans un repère orthonormal, deux fonctions affines sont représentées par des droites perpendiculaires alors leurs coefficients directeurs a et a' sont tels que aa'= -1 Pour démontrer: Soient deux fonctions affines f(x)=ax+b et g(x)=a'x+b' représentées par (D) et (D'). Les fonctions linéaires associées sont alors représentées par les droites (d) et (d') telles que (D)//(d) et (D')//(d'). Si (D) et (D') sont perpendiculaires alors (d) et (d') le sont aussi. En effet:

Comme (D)//(d) et (D') perpendiculaire à (D) alors (D') perpendiculaire à (d). Comme (d')//(D') et (D') perpendiculaire à (d) alors (d') est perpendiculaire à (d).

La démonstration du théorème est alors ramenée à démontrer que deux fonctions linéaires, représentées par des droites perpendiculaires, ont des coefficients a et a' tels que aa'= -1. Le théorème réciproque est aussi démontré:(voir la Démonstration) Si, dans un repère orthonormal, les coefficients a et a' de deux droites représentatives est tel que aa'= -1 alors ces deux droites sont perpendiculaires.

4 .Appartenance d'un point à une droite représentative: Soit la fonction affine f(x)=ax+b. Pour que le point P(xP,yP) appartienne à la droite représentative de f, il suffit que yP =axP+b. Exemple: f(x)=3x-1 ; (D) la droite représentative de f , A(2; 1/2) et B(1; 2).

- L'équation de la droite représentative est y=3x -1. Nous avons: yA=1/2 3xA - 1 = 3×2- 1 = 5 Comme yA est différent de 3xA - 1 alors A n'est pas un point de (D) - Pour B nous avons : yB=2 3xB - 1 = 3×1- 1 =2 Comme yB = 3xB - 1 alors B est un point de (D).

 

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Olivier

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souffleur
souffleur
Invité
4 Juin.

j’ai exercice de fonction si vous pouvez m’aider : on donne g(0)=3 et g(-2)=0, soit (x) la fonction définie par f(x)=x2+2x+1 quelle est l’image de 2 par f ?

Clément
Clément
Éditeur
17 Juin.

Bonjour,

Afin de résoudre cette équation, remplacez tout simplement le x dans la formule f(x)=x2+2x+1 par 2 et vous obtiendrez le résultat.

Bonne journée