Géométrie

Configurations, transformations, repérage

I. Les triangles

1) Les droites remarquables

a) Médiatrice :

Définition : On appelle médiatrice d'un segment, la droite qui est perpendiculaire à un côté et qui le coupe en son milieu.

Propriété 1 : Les médiatrices des côtés d'un triangle ABC sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Alors OA=OB=OC.

Propriété 2 : Tout point M situé sur la médiatrice de BC est équivalent de B et C.

b) Hauteur :

Définition : Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par le sommet opposé et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Propriété : Les hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle ABC.

c) Médiane :

Définition : Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par le milieu du côté et le sommet opposé.

Propriété : Les médianes d'un triangle ABC sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle ABC. Alors AG=2/3AA' ; BG=2/3BB' ; CG=2/3CC'

d) Bissectrice :

Définition : On appelle bissectrice d'un angle, la droite qui partage un angle en 2 angles égaux.

Propriété : Les bissectrices des angles d'un triangle ABC sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit.

2) Triangle rectangle

Propriétés 1 :

a) Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC²=AB²+AC² (Pythagore)

b) Si un triangle ABC est rectangle en A, alors l'hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC

c) Si un triangle ABC est rectangle en A, et I le milieu de [BC] alors la médiane IA mesure la moitié de l'hypoténuse AI=BC/2

Propriétés 2 (réciproque) :

a) Si BC²=AC²+AB² alors ABC est un triangle rectangle en A (Réciproque de Pythagore)

b) Si Abc est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre BC, alors ABC est rectangle en A.

c) Si I est le milieu du côté [BC] du triangle ABC et si AI = BC/2 alors ABC est rectangle en A

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II. Parallélogramme

1) Propriétés

Si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme alors :

(1) Ses diagonales se coupent en leur milieu

(2) Ses côtés opposés sont parallèles 2 à 2

(3) Ses côtés opposés sont de même longueur 2 à 2

(4) Ses angles opposés sont égaux et la somme de deux angles consécutifs vaut 180°

2) Parallélogrammes particuliers

Un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueur ou ses diagonales perpendiculaires est un losange.

Un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs perpendiculaires ou ses diagonales de même longueur est un rectangle.

Un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueur, 2 côtés consécutifs perpendiculaires, ses diagonales perpendiculaires et ses diagonales de même longueur est un carré.

III. Angles et cercle

Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre associé : AMB=1/2AOB

Dans un cercle, deux angles inscrits qui coupent (interceptent) le même arc AB sont égaux : AMB=ANB

IV. Symétries

a) Symétrie centrale de centre I :

M' l'image de M par la symétrie de centre I est tel que I soit le milieu de [MM']

Remarque : Seul I est invariant par cette symétrie centrale.

Exemple : Un parallélogramme a pour centre de symétrie le point d'intersection de ses diagonales.

b) Symétrie axiale d'axe µ

Si M n'appartient pas à µ alors µ est médiatrice de MM'

Si M appartient à µ alors M=M' : tous les points de µ sont invariants.

Exemple : Un rectangle a 2 axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés)

Un losange a 2 axes de symétrie (ses diagonales)

c) Propriétés :

Les symétries conservent :

- Les distances (A'B'=AB) = isométrie

- Les mesures d'angles géométriques

- Les aires

- Le contact (l'image de l'intersection de deux droites, est l'intersection des droites images)

- L'alignement

- Le parallélisme

- L'orthogonalité

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Olivier

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