Comment comparer deux nombres ?

Les mettre au même dénominateur

Principe

Si l'on a deux fractions a/b et c/d à comparer, avec b ≠ d, il faut s'arranger pour les mettre au même dénominateur. On y parvient soit de manière évidente soit en cherchant le PPCM de b et de d (c'est à dire le plus petit commun multiple à b et à d).

♦ Exemple : Comparer 17/18 et 70/72.

On a : 17/18 = 34/36 et 70/72 = 35/36 et comme 34/36 < 35/36, on a 17/18 < 70/72.

Superprof

Utiliser la caractérisation : a < b équivaut à b-a > 0

Principe

L'assertion est évident. Un conseil tout de même :

Si l'on doit comparr deux fractions suivantes par exemple, il faudra alors les mettre au même dénominateur pour pouvoir les soustraire.

♦ Exemple : Comparer 17/256 et 71/1024.

17/256 -71/1024 = 68/1024 - 71/1024 = -3/1024, comme 17/256 - 71/1024 < 0, il vient 17/256 < 71/1024.

Comparer à un réel intermédiaire

Principe

Si a < b et b < c alors a < c, voilà ce que ça veut dire.

(En langage parlé, on pourrait le dire ainsi : Si Paul est plus petit que Pierre et si Pierre est petit que Jean, alors Paul est plus petit que Jean.)

♦ Exemple : Comparer 216/217 et 19/18.

On a : 216/218 < 1 (puisque 216<217), et on a 1 < 19/18 (puisque 18<19).

Ce qui donne au final : 216/217 < 1 < 19/18 et donc : 216/217 < 19/18 (facile !)

Comparer leurs carrés

Principe

a) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² = b² alors a = b.

b) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² < b² alors a < b.

c) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² > b² alors a > b.

Utiliser a < a² < a3 si a > 1

Principe

Petite propriété bien pratique pour obtenir des inégalités. En fait, si a>1, ses puissances a, a² et a3 sont de  plus en plus grandes.

Exemple :Comparer √5/2, 5/4 et (5√5)/8

On a : 1< (√5/2) (car √5 > 2). Donc : √5/2 < (√5/2)² < (√5/2)3, soit √5/2 < 5/4 < (5√5)/8.

Utiliser a3 < a² < a si 0 < a < 1

Principe

Petite propriété également bien pratique pour obtenir des inégalités. En fait, si 0 < a < 1, ses puissances a, a² et a3 sont, cette fois, de plus en plus petites.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

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