Quelles sont les opérations à effectuer avec eux ?

Présentation

Les nombres, c'est comme les soldats de plomb : on peut les ranger. Pas n'importe comment bien sûr, mais dans des ensembles qui évoquent les poupées russes : vous savez, ces poupées qui s'emboîtent les unes dans les autres ! Ces poupées russes portant le nom (de la plus petite à la plus grande) N, Z, D, Q, R .

 

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Méthode 1

Comment déterminer l'ensemble (parmi N, Z, D, Q, R ) " le plus petit " auquel appartient un nombre ?

♦ Principe

Rappelons que l'ensemble le plus petit auquel appartient un nombre est :

a) N pour tous les nombres entiers positifs : 0, 1, 2, 3, ..., 14589, ...

b) Z pour tous les nombres entiers strictement négatifs : ... -23569, ..., -3, -2, -1.

c) D pour tous les nombres dont le nombre de chiffres après la virgule est fini. Par exemple : 23.569; -12.1.

d) Q pour tous les nombres dont
le nombre de chiffres après la virgule est infini et 'périodique'  à
partir d'un moment, par exemple : 1/3, 1/7 (mais pas π).

e) R pour tous les nombres à
développement décimal infini irrégulier, capricieux comme π =
3.141593653589..., ou comme tous les radicaux du genre √2 =
1.41421356237... qui ne tombent pas justes ... D'ailleurs, de tels
nombres sont dits irrationnels !

Bien sûr du plus petit au plus grand, on a les inclusions : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R .

Méthode 2

Comment écrire un nombre décimal positif en notation scientifique ?

Tout nombre décimal positif peut s'écrire sous la forme a•10n
avec : 1 ≤ a ≤ 10 et n ∈ Z. Cette écriture s'appelle notation
scientifique ou ingénieur. Cette écriture permet de donner un ordre de
grandeur du nombre décimal, d'ailleurs dans l'écriture a•10n,
n s'appelle l'ordre de grandeur. Mais voyons tout cela ... Tout d'abord
il faut bien connaître vos puissances de 10, car on va les utiliser
tout le temps !

1

10

100

1000

10.000

100.000

1.000.000

1.000.000.000

100

101

102

103

104

105

106

109

1

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

0,000001

0,000000001

100

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-9

Voici un moyen tout simple de s'en souvenir : on compte le nombre de zéros !

Par exemple : 100.000.000.000 comporte 11 zéros après le 1, c'est donc un 1011. Mais 0,000001 comporte 6 zéros en tout (attention à bien compter le zéro avant la virgule), c'est donc un 10-6 (Attention la puissance est négative car le nombre est  entre 0 et 1).

♦ Principe

a) Repérer entre quelles puissances de 10 consécutives se trouve le nombre.

b) En déduire une factorisation par la première puissance de 10, pour trouver le nombre a.

c) En déduire n.

Méthode 3

Comment donner une valeur approchée d'un nombre ?

Pour commencer, une valeur approchée c'est une valeur tronquée. Il n'y a
d'ailleurs pas qu'un seul type de valeur approchée : il y a les valeurs
approchées par défaut (légèrement en dessous), par excès (légèrement au
dessus) et arrondie (la plus proche de la valeur).

♦ Principe

Le plus simple est d'étudier par exemple : π = 3.14159... (à la calculatrice)

Si on demande une valeur approchée à 10-3 près, on garde les deux premiers chiffres après la virgule ( c'est à dire le 1 et le 4), et pour le troisième :

a) on prend 1 pour une valeur approchée par défaut, ce qui donne : 3,141.

b) on prend 2 pour une valeur approchée par excès, ce qui donne : 3,142.

c) on prend 2 pour une valeur arrondie car 159 est plus proche de 200 que de 100, ce qui donne 3,142.

Méthode 4

Comment déterminer des nombres premiers ?

Dès l'Antiquité le savant grec
Eratosthène avait mis en point un système pour déterminer ces nombres
premiers. Le problème c'est que ce système, appelé crible, fonctionne
beaucoup trop lentement (il faudrait des siècles et des siècles pour
déterminer un nouveau nombre premier). Nous allons donc nous contenter
de l'utiliser pour déterminer tous les nombres premiers de 1 à 100.

♦ Principe

Construire un tableau 10*10 contenant tous les entiers de 1 à 100.

a) Barrer 1 qui n'est pas premier (c'est une convention).

b) Entourer le 2 et barrer tous ses multiples : c'est à dire 4. 6. 8 ... 98. 100

c) Entourer le 3  et barrer tous ses multiples : c'est à dire 6. 9. 12. 15... 96. 99

d) 4 et ses multiples, c'est déjà fait à cause de 2

e) Entourer le 5 et barrer tous ses multiples : 10. 15. 20 ...

f) 6 c'est fait à cause de 3

g) Entourer 7 et barrer tous ses multiples : 14. 21 ...

h) 8 déjà fait à cause de 2 et 9 également à cause de 3. Stop on s'arrête (on s'arrête à 10).

Les nombres qui restent, c'est
à dire ceux qui n'ont pas été barrés (ou en bleu dans le tableau
suivant) sont les nombres premiers compris entre 1 et 100.

12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100

Méthodes 5

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

♦ Principe

Un bon moyen de
procéder est de diviser tant qu'on peut par 2, puis par 3, puis par 5,
etc. (c'est à dire par les nombres premiers eux-mêmes.) Bien sûr, il
faut repérer les nombres :

* divisibles par 2, c'est à dire les nombres pairs (122, 250, 328 ...)

* divisibles par 3, c'est à dire ceux dont la somme des chiffres est divisible par 3 (comme 123, 258, ...)

* divisibles par 5, c'est à dire ceux qui se finissent par 5 ou 0 (comme 100, 155, ... ).

♦ Exemple : Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 180.

180 = 2 * 90 = 2 * 2 * 45 = 2 * 2 * 3 *15 = 2* 2 * 3* 3 *5. Stop !

On a donc la décomposition : 180 = 22 * 32 * 5.

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Olivier

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