Comment les exprimer ?

Définition et propriétés

Définition :

Soit x un réel, on appelle valeur absolue de x notée |x| le nombre positif défini par :
|x| = x si x > 0
|x| = -x si x < 0

Propriétés :

|-x|=|x|
(x²) = |x|
|xy| = |x| × |y|
|x/y| = |x|/|y| si y 0

Inégalité du Triangle en cours de maths :

|x + y|=< |x| + |y|

Propriétés :

Soit a > 0 et x réel, alors :

|x| = a <=> x = a ou x = -a
|x| < a <=> S = [-a; a]
|x| > a <=> S = ]-oo;-a[ U ]a;+oo[

Superprof

Encadrements

Définition :

Réaliser l'encadrement d'un nombre x quelconque, c'est trouver deux nombres a et b tels que a < x < b.
L'amplitude de l'encadrement est c = b - a

Valeur Approchée :

Soient a et x deux nombres et e > 0. Alors a est une valeur
approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision e près)
quand |x - a| < e

Définition :

Soient a et x deux réels et e > 0,

a est une valeur approchée de x à e près par défaut <=> a < x < a + e
a est une valeur approchée de x à e près par excès <=> a - e < x < a

Propriétés :

Soit x tel que a < x < b, une valeur approchée de x est c =
(a + b)/2. La précision est e = (b - a)/2 et c est une valeur approchée
de x à e près soit : |x - c| < e.

Si x tel que a < x < b et que c < a < b < d alors on a : c < a < x < b < d

Si x tel que a < x < b, un majorant de |x| est le plus grand nombre en valeur absolue |a| ou |b|.

Rappels sur les distances

Définition :

La distance entre deux points A(xA) et B (xB) se calcule par :
d(A,B) = |xB - xA| (ou (|xA - xB|).

Propriétés :

On a les équivalences suivantes :

d(x, a) =< r
|x - a| =< r
a - r =< x =< a + r
x ∈ [a - r; a + r]

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Olivier

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