Que faut-il savoir sur les fonctions ?

Introduction

Les fonctions sont la base des mathématiques et permettent de nombreuses applications en physique, économie et même en géographie ! Elles nous permettent par exemple de comprendre des évolutions dans le temps, et peuvent être représentées graphiquement. Étudions les différentes propriétés des fonctions et le vocabulaire qui les entoure.

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Définitions

Quel est le sens de variation d'une fonction ? Commençons par comprendre ce qu'est une fonction en mathématique.

Tout d'abord, qu'est ce qu'une fonction ?

Définir une fonction f sur un intervalle Df de

    \[\mathbb{R}\]

, c’est associer à tout nombre x appartenant à Df un unique nombre réel f(x) à valeur dans

    \[\mathbb{R}\]

. On peut définir une fonction par une courbe, un tableau de valeur, une formule explicite ou une formule par récurrence. De manière générale, on exprime une fonction par une formule explicite c'est à dire qui exprime f(x) en fonction de x.

On appelle x la variable. L'unique valeur associé à x par la fonction f est appelé l’image de x par la fonction f et est notée f(x). On appelle x l'antécédent de f(x) par la fonction f. L'antécédent n'est pas toujours unique, différentes valeurs de x peuvent donner une même valeur f(x). Par exemple, pour la fonction f qui a tout x associe x², les valeurs 2 et -2 donnent f(2)=2²=4 et f(-2)=(-2)²=4.

Df est appelé l'ensemble de définition de la fonction, c’est l’ensemble des réels x ayant une image par f. Par exemple, f(x)=x² peut être définie sur tout

    \[\mathbb{R}\]

Par contre la fonction

    \[f(x)=\frac{1}{x}\]

n'est pas définie au point 0, on ne peut pas diviser par 0. Elle est définie sur

    \[\mathbb{R*}=\mathbb{R}-{0}\]

En général, Df est un intervalle ou une réunion d'intervalle de

    \[\mathbb{R}\]

.

On note souvent la fonction f sous la forme

    \[f : Df \rightarrow \mathbb{R}\]

    \[  x\mapsto f(x)\]

Attention au vocabulaire, f désigne la fonction alors que f(x) désigne un nombre, l’image de x.

 

Représentation graphique d'une fonction

Il est possible de tracer une fonction dans dans un repère en deux dimensions. On effet, puisque l'on exprime f en fonction de x, nous avons bien deux données à exprimer : x et f(x). Dans un repère du plan, la courbe représentative Cf d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) tels que x est un réel appartenant à l’ensemble de définition Df de f. Le plus souvent, on se place dans une repère orthonormé

    \[(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\]

c'est à dire un repère de centre 0, ayant ses deux axes perpendiculaires et dont les vecteurs

    \[\overrightarrow{i}\]

et

    \[\overrightarrow{j}\]

correspondent à la graduation de longueur 1, l'un sur l'axe des abscisses et l'autre sur l'axe des ordonnées.

L'axe des abscisses représente l'ensemble des valeurs prises par x alors que l'axe des ordonnées représente l'ensemble des valeurs prises par f(x). Ainsi, une image se lit sur l’axe des ordonnées, et un antécédent sur l’axe des abscisses.

Soit M un point de coordonnées (x;y).

    \[M(x ; y) \in Cf\]

  si et seulement si

    \[x \in Df\]

et f(x) = y.

Par exemple, regardons la représentation graphique des fonctions

    \[f(x)=x^2\]

et

    \[f(x)=\frac{1}{x}\]

Qu'est ce qu'une fonction ? Voici la représentation graphique de la fonction f(x)=x². C'est une parabole. On observe bien que quelque soit la valeur de x, f(x) est positive (au dessus de l'axe des abscisses)

 

Comment représenter graphiquement une fonction ? Voici la représentation graphique de la fonction inverse. C'est une hyperbole. Il est clair que la fonction n'est pas définie en 0. On observe de plus que la fonction est toujours décroissante.

On associe à chaque courbe une équation, par exemple, la fonction x² que nous avons tracé est la courbe d'équation y=x².

Le cercle, dont nous connaissons tous la représentation graphique, est également défini par une équation. Par exemple, le cercle de centre (0,0) a pour équation

    \[x^2+y^2=r^2\]

où r est le rayon. On pourrait alors y associer une fonction : comme

    \[y=\sqrt{r^2-x^2}\]

on a la fonction

    \[f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\]

Sens de variation, extremum et limites

Qu'est ce que le sens de variation d'une fonction ? Les fonctions possèdent différentes propriétés : sens de variations, signe, limites, maximums, minimums, etc... Cherchons à les comprendre et à les déterminer.

Soit f une fonction définie sur Df.

Dire que f est croissante sur un intervalle I de Df signifie que, pour tous réels a et b appartenant à I, si a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b). A l'inverse, dire que f est décroissante sur un intervalle I de Df signifie que, pour tous réels a et b appartenant à I, si a ≤ b, alors f(a) ≥ f(b).

Soit a un réel de l’intervalle I :

On dit que f(a) est un maximum de la fonction f sur l’intervalle I si pour tout réel b appartenant à I, f(b) ≤ f(a). A l'inverse, on dit que f(a) est un minimum de la fonction f sur l’intervalle I si pour tout réel b appartenant à I, f(b) ≥ f(a). Si f(a) est le maximum sur Df, alors c'est le maximum de la fonction (maximum global), mais si f(a) est le maximum sur I et non sur Df, on parle de maximum local. Il en est de même pour le minimum.

Une fonction croissante qui admet un maximum global est dite majorée. Une fonction décroissante qui admet un minimum global est dite minorée.

Par exemple, la fonction f(x)=x² admet un minimum en 0 mais pas de maximum. Par contre la fonction

    \[f(x)=\frac{1}{x}\]

n'admet ni minimum ni maximum.

Attention, quand on dit qu’une fonction est croissante ou décroissante, il faut toujours préciser sur quel intervalle, puisqu'une fonction est rarement monotone (c'est à dire tout le temps croissante ou tout le temps décroissante).

On peut résumer les variations d’une fonction dans un tableau de variation.

Pour obtenir les variations d'une fonction, on utilise en général la dérivée de la fonction. En effet, le signe de la dérivée donne les variations de la fonction : lorsque la dérivée de f, notée f' est positive, alors la fonction est croissante. A l'inverse, lorsque la dérivée de f est négative, alors f est décroissante. On récapitule cela dans un tableau de signe suivi d'un tableau de variation.

Le signe d'une fonction est souvent difficile à déterminer. Pour les fonctions du second degré on utilise le discriminant, mais aucune méthode particulière n'existe pour les fonctions plus compliquées. Le seul moyen de déterminer le signe d'une fonction est de la factoriser.

De plus, les fonctions admettent des limites au niveau des points où elles ne sont pas définies mais aussi aux bornes, qui sont souvent les infinis. Par exemple, la fonction inverse tend vers 0 en

    \[+\infty\]

et en

    \[-\infty\]

alors qu'elle tend vers

    \[-\infty\]

en 0- et

    \[+ \infty\]

en 0+. La fonction carré tend vers l'infini en

    \[-\infty\]

et

    \[+\infty\]

 

Droites et fonctions affines

Les fonctions que nous connaissons le mieux sont les fonctions affines. En effet, elles sont représentées graphiquement par des droites ! Les fonctions affines sont de la forme f(x)=ax+b et les équations de droites de la forme y=ax+b avec a et b deux nombres réels.

On appelle a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

Les droites passant par l'origine ont pour équation y=ax. On appelle alors les fonctions associées des fonctions linéaires, qui sont de la forme f(x)=ax.

Enfin, on trouve les droites horizontales, qui correspondent à des fonctions constantes de la forme f(x)=b.

Attention, les droites verticales sont particulières puisqu'elles sont de la forme x=c, où c est une constance.

Une droite correspond à une fonction monotone. Si a>0, alors la droite est croissante et si a<0 alors la droite est décroissante. On détermine alors facilement le signe de la fonction en déterminant la valeur de x pour laquelle la fonction s'annule (en résolvant f(x)=0).

 

Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Comment résoudre graphiquement une équation ? Enfin, terminons en essayant de comprendre comment résoudre graphiquement une équation ou une inéquation.

Soient f et g deux fonctions et Cf et Cg les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère. Soit k un réel.

Les solutions de l’équation

    \[f(x) = k\]

sont l'ensemble des x tels que f(x)=k c'est à dire l'ensemble des abscisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la droite d’équation y = k.

Les solutions de l’équation

    \[f(x) = g(x)\]

sont les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg. Pour trouver les solutions par calcul, on cherche l'ensemble des x tels que f(x)-g(x)=0.

Les solutions de l’équation f(x) ≥ k sont l'ensemble des x tels que la courbe Cf est située au dessus de la droite d’équation y = k. De même, les solutions de l’équation f(x) ≤ k sont l'ensemble des x tels que la courbe Cf est située en dessous de la droite d’équation y = k.

Les solutions de l’équation f(x) ≥ g(x) sont l'ensemble des points d'abscisse x pour lesquels la courbe Cf est située au dessus de Cg. Pour déterminer les solutions par calculs, on cherche le signe de f(x)-g(x). Lorsque

    \[f(x)-g(x)>0\]

alors Cf est au dessus de Cg et inversement, lorsque

    \[f(x)-g(x)<0\]

alors Cf est en dessous de Cg.

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Elise

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