Définitions

Fonctions

Définition : Définir une fonction sur une partie D de R, c’est associer à tout nombre x de D un nombre réel et un seul appelé image de D.

Remarque : On peut définir une fonction par une courbe, un tableau de valeur ou une formule.

Notations :

  • L’image de x par la fonction f est notée f(x).
  • La fonction f est parfois notée f : x → f(x).

Vocabulaire des fonctions

Définitions :

  • D est appelé l’ensemble de définition de f, c’est l’ensemble des réels ayant une image par f.
  • X est appelé la variable.
  • Si f(a) = b, on dit que a est un antécédent de b par la fonction f. Un réel peur avoir plusieurs antécédents dans D.

Remarques :

  • f désigne la fonction alors que f(x) désigne un nombre, l’image de x.
  • En général, D est un intervalle de R.

Courbe représentative d’une fonction

Définition : Dans un repère du plan, la courbe représentative C d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) tels que x est une réel appartenant à l’ensemble de définition D de f.

Remarques :

  • M (x ; y) ∈ C si et seulement si x ∈ D et f(x) = y.
  • Une image se lit sur l’axe des ordonnées, et un antécédent sur l’axe des abscisses.
  • L’ensemble de définition se lit su l’axe des abscisses.

Sens de variation d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Défintion : Dire que f est croissante sur I signifie que, pour tout réel a et b appartenant à I, si a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b).

Définition :Dire que f est décroissante sur I signifie que, pour tout réel a et b appartenant à I, si a ≤ b, alors f(a) ≥ f(b).

Définition : Soit a un réel de l’intervalle I :

  • On dit que f(a) est un maximum de la fonction f sur l’intervalle I si pour tout réel b appartenant à I f(b) ≤ f(a).
  • On dit que f(a) est un minimum de la fonction f sur l’intervalle I si pour tout réel b appartenant à I f(b) ≥ f(a).

Exemples :

  • f(1) est un maximum de f sur [0 ; 4].
  • f(3) est un minimum de f sur [0 ; 4].

Remarques :

  • Quand on dit qu’une fonction es croissante ou décroissante, il faut toujours préciser sur quel intervalle.
  • De même, quand on parle de maximum ou de minimum, f(a) peut être un maximal de f sur un intervelle I mais pas sur un autre intervele J.

Méthode : On peut résumer les variations d’une fonction dans un tableau de variation.

Exemple : Soit f la fonction définie sur [-2 ; 2] par f(x) = x².

Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Soient f et g deux fonctions, Cf et Cg les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère, et k un réel.

Propriété : Les solutions de l’équation f(x) = k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la droite d’équation y = k.

Exemple : Résolution de l’équation f(x) = -2   →   f(x) = -2 pour x = -1 et pour x = 4.

Propriété : Les solutions de l’équation f(x) = g (x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg.

Exemple : Résolution de l’équation f(x) = g(x)   →   f(x) = g(x) pour x = 1 et pour x = 4.

Propriété : Les solutions de l’équation f(x) ≥ k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf situés au dessus de la droite d’équation y = k.

Exemple : Résolution de l’équation f(x)≥ 1   →   f(x) ≥ 1 pour x Î [1 ; 3].

Propriété : Les solutions de l’équation f(x) ≤ k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf situés en dessous de la droite d’équation y = k.

Exemple : Résolution de l’équation f(x)≤ 1   →   f(x) ≤ 1 pour x Î [-1 ; 1] U [3 ; 4].

Propriété : Les solutions de l’équation f(x) ≥ g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf situés au dessus de Cg.

Exemple : Résolution de l’équation f(x) ≥ g(x)   →   f(x) ≥ g(x)pour x Î [1 ; 4].

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) (Aucune note pour le moment)
Loading...

Clément M

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

Vous avez aimé
cette ressource ?

Bravo !

Téléchargez-là au format pdf en ajoutant simplement votre e-mail !

{{ downloadEmailSaved }}

Votre email est invalide