Notation

N ensemble des entiers naturels

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … ; n ; n + 1 ; …}

∈ signifie appartient à ou est élément de.

∉ signifie n'appartient pas ou n'est pas élément de.

N * est l'ensemble des éléments auquel on a enlevé l'ensemble à un élément qu'on appelle le singleton.

N * =  N - {0}ou N / {0}

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Notion de diviseur

Définition :

a et b sont deux entiers naturels avec b > 0.
Dire que b est diviseur de a signifie que a/b est un entier naturel.

Ex : 35/7 = 5
5 Є N

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels avec b > 0.
b est un diviseur de a si et seulement s'il existe un entier naturel k x b = a.

Ex : 35 = 7 x 5

Remarque :

Si b est un diviseur de a, alors a est un multiple de b.
Un multiple d'un nombre entier est le produit de cet entier par un autre entier.

Quelques notions

Nombres premiers

Définition :

Un nombre premier est un nombre qui n'a pour diviseur que 1 et lui-même.

Ex : 5 = 5 x 1

10 = 10 x 1 = 5 x 2 ; 10 admet quatre diviseurs, 10 n'est pas premier.
0 a une infinité de diviseurs, 0 n'est pas premier.
1 n'a qu'un seul diviseur donc 1 n'est pas premier.

Nombres composés

Définition :

Un nombre composé est un entier naturel différent de 1 qui n'est pas premier.

Ex : 6 = 3 x 2

Propriété :

Tour entier naturel différent de 0 et de 1 est premier ou s'écrit sous la forme d'un produit de nombres premiers.

Ex : 7 = 7 x 1

8 = 23

Remarque

Comment reconnaître un nombre premier ou un nombre composé ?

Théorème :

Si tout nombres premiers inférieurs à [racine carrée de n] ne sont pas diviseurs de n, alors n est un nombre premier.

Ex :

48

48 = 1 x 48 = 2 x 24 = 3 x 16 = 4 x 12 = 6 x 8
= 6,9
48 n'est pas premier.

53

≈ 7,3
53 n'est pas pair ; 2 n'est pas diviseur
5 + 3 = 8 n'est pas un multiple de 3 ; 3 n'est pas diviseur
53 ne se termine pas par 0 ou 5 ; 5 n'est pas diviseur

53 = 49 + 4
53 = 7 x 7 + 4

329

≈ 18,1
329 n'est pas pair ; 2 n'est pas diviseur
3 + 2 + 9 = 8 n'est pas un multiple de 3 ; 3 n'est pas diviseur
329 ne se termine pas par 0 ou 5 ; 5 n'est pas diviseur

329 = 280 + 49
329 = 7 (40 + 7)
329 = 7 x 47
329 n'est pas premier.

Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème :

Tout nombre supérieur ou égal à 2 est un nombre premier ou est égal à un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près

Exemple :

72

72= 2 x 36
72 = 2 x 22 x 32
72 = 23 x 33

1875

1875= 3 x 54

Application

  • Diviseur d'un nombre

Exemple :

48 = 4 x 12
48 = 24 x 3
(4 + 1)(1 + 1)
Soit 10 diviseurs

 

  • PGCD de deux nombres

Exemple :

a = 23 x 31 x 72 x 13               = (2 x 3 x 7) x (22 x 7 x 13)
b = 2 x 33 x 52 x 7 x 11          = (2 x 3 x 7) x (32 x 52 x 11)

2 x 3 x 7 = PGCD (a ; b)

  • Simplification

Exemple :

= = 5 x 3

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !