Introduction

Les suites représentent un chapitre indispensable du programme de 1ère S. Suite de Fibonacci, de Cauchy ou encore de Syracuse, les suites sont très étudiées en mathématiques et à très haut niveau. Il est donc nécessaire de connaître les bases.

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Définition d'une suite

Comment identifier une suite ?
On commence par définir ce qu'est une suite.

Une suite est une famille d'éléments qu'on appelle des "termes". Dans ce cours, nous étudions les suites numériques, que l'on peut voir comme des fonctions de N (ensemble des entiers naturels) dans R (ensemble des nombres réels). Les termes de la suite sont donc des réels. Une suite est notée [(U_{n})_{nin N}] Au lycée, on la note plus simplement [(U_{n})] où les nombres réels [U_{n}] sont les termes de la suite. La plupart du temps, une suite a pour premier terme [U_{0}] ou

    \[U_{1}\]

Soit [U_{k}] un des termes de la suites. On dit que k est l'indice ou le rang. Il existe deux manières de définir une suite :

  • De manière explicite : on définit la suite en fonction de n. On a donc [U_{n}=f(n)]

Par exemple,

    \[U_{n}=2n+1\]

Ici, le premier terme est

    \[U_{0}=2\times0+1=1\]

C'est le terme de rang 0. Si l'on veut calculer

    \[U_{5}\]

il suffit de remplacer n par 5 :

    \[U_{5}=2\times5+1=11\]

  • Par récurrence : on définit chaque terme par rapport au terme qui le précède. C'est à dire

        \[U_{n+1}=f(U_{n})\]

    ou

        \[U_{n}=f(U_{n-1})\]

Par exemple :

    \[U_{n+1}=2U_{n}\]

avec

    \[U_{0}=2\]

Lorsque l'on définit une suite par récurrence, il est nécessaire de donner le premier terme. Pour obtenir un des termes de la suite, on est obligé de calculer tous les termes précédents. Si l'on veut calculer

    \[U_{5}\]

  il nous faut calculer

    \[U_{1},U_{2},U_{3},U_{4}\]

Dans notre exemple on obtient :

U0U1U2U3U4U5
22xU0=42xU1=82xU2=162xU3=322xU4=64
Il existe des suites définies à la fois en fonction de n et en fonction de Un. Par exemple,

    \[U_{n}=3U_{n}+5n-1\]

Variation d'une suite

En cours de math, une suite est croissante si pour tout entier naturel n sur lequel elle est définit on a

    \[U_{n+1}\geq U_{n}\]

Elle est strictement croissante si

    \[U_{n+1}>U_{n}\]

Inversement, une suite est décroissante si pour tout entier naturel n sur lequel elle est définit on a

    \[U_{n+1}\leq U_{n}\]

Elle est strictement décroissante si

    \[U_{n+1}<U_{n}\]

On dit qu'une suite est monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. Une suite est dite constante si

    \[U_{n+1}=U_{n}\]

pour tout entier naturel n sur lequel elle est définit. Bien-sur, il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes ni constantes. Par exemple, la suite

    \[U_{n}=(-1)^{n}\]

Les termes de la suite valent 1,-1,1,-1, etc... C'est une suite alternée. Afin d'étudier le sens de variation d'une suite on étudie le signe de

    \[U_{n+1}-U_{n}\]

Si cette différence est positive, alors la suite Un est croissante. Si le résultat est négatif, alors la suite est décroissante. Si la différence vaut 0, la suite est constante. Étudions un exemple :

    \[U_{n}=n^{2}+n+1\]

    \[U_{n+1}-U_{n}=(n+1)^{2}+n+1+1-n^{2}-n-1\]

    \[=n^{2}+2n+1+n+2-n^{2}-n-1\]

    \[=2n+2\]

Comme n est positif, 2n+2 est positif. Donc la suite Un est croissante. Pour étudier le sens de variation il est aussi possible d'étudier le rapport

    \[\frac{U_{n+1}}{U_{n}}\]

Si le rapport est supérieur à 1, la suite est croissante. Si le rapport est inférieur à 1, la suite est décroissante. Enfin, si le rapport vaut 1, la suite est constante. Cette méthode, contrairement à la première, n'est pas toujours probante mais elle est plus rapide lorsque les calculs ne concerne que des multiplications, divisions ou puissances.

Convergence d'une suite

Quand une suite converge t elle ?
Les suites peuvent tendre vers un nombre réel ou bien tendre vers l'infini.

On dit d'une suite est convergente si elle admet une limite, c'est à dire s'il existe un nombre réel l vers lequel tend Un quand n tend vers l'infini. On note [lim_{n rightarrow +infty}U_{n}=l] Par exemple, la suite

    \[U_{n}=n^{2}+n+2\]

tend vers l'infini quand n tend vers l'infini. Donc la suite ne converge pas. Elle diverge. Regardons la suite

    \[V_{n}=\frac{1}{n}\]

Quand n tend vers l'infini, la suite tend vers 0. Donc la suite converge vers l=0. La suite Un est dite majorée s'il existe un M tel que [U_{n}leq M] quelque soit n un entier naturel. Si la suite Un est croissante et majorée alors la suite est convergente. Une suite croissante non majorée est divergente et tend vers l'infini. La suite Un est dite minorée s'il existe un m tel que [U_{n}geq m] quelque soit n. Si la suite Un est décroissante et minorée, alors la suite est convergente. Une suite décroissante non minorée est divergente et tend vers [-infty].

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Représentation graphique d'une suite

Il y a différentes manières pour représenter graphiquement une suite. La première est de calculer les termes de la suite un par un puis de les placer dans un repère. Lorsque l'on a une suite définie explicitement, il est possible de tracer la fonction f(n). Les différents termes de la suite correspondent aux points de la fonction ayant une valeur entière et positive en abscisse. Traçons par exemple

    \[U_{n}=n^{2}-3n+2\]

Les premiers termes de la suite correspondent aux points A,B,C,D et E. Ici

    \[U_{0}=2,U_{1}=U_{2}=0,U_{3}=2,U_{4}=6\]

Comment représenter une fonction ?
Voici la représentation graphique d'une fonction définie de manière explicite.

Enfin, lorsque l'on doit tracer une suite définie par récurrence, on passe par plusieurs étapes. On a

    \[U_{n+1}=f(U_{n})\]

On commence par tracer la fonction f dans un repère ainsi que la droite y=x. On peut ensuite placer le point (U0,0). Ensuite, on trace la droite verticale partant de ce point. Son intersection avec la courbe f nous donne le point A, qui a pour ordonnée U1. On reporte U1 sur l'axe des abscisses grâce à la droite x=y. De cette façon on peut réitérer la méthode pour avoir les termes suivants. Étudions par exemple

    \[U_{n+1}=0.01U_{n}^{3}+1\]

avec U0=5. On trace la fonction

    \[f(x)=0.01x^{3}+1\]

et la droite y=x. On place le point (U0,0) puis on applique la méthode énoncée ci-dessus.

Comment la suite par récurrence est elle représentée ?
Voici la représentation graphique d'une suite définie par récurrence.

On vérifie en calculant les premiers termes :

U0U1U2U3
50.01x5x5x5+1=2.250.01x2.25x2.25x2.25+1=1.1140.01xU2xU2xU2+1=1

Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite de la forme

    \[U_{n+1}=U_{n}+r\]

où r est un réel. r est appelé la raison de la suite Un. Par exemple,

    \[U_{n}=U_{n}+5\]

avec

    \[U_{0}=-1\]

Une suite arithmétique peut aussi s'écrire de façon explicite : [U_{n}=U_{0}+ntimes r] Par exemple, la suite

    \[U_{n}=2-3n\]

est arithmétique. Ainsi, lorsque l'on représente graphiquement les termes de la suite, on observe que les points sont alignés. Dans l'exemple précédent, on obtient

    \[U_{n}=-1+n\times 5\]

Pour écrire la suite de façon explicite, il suffit de connaitre un terme, et pas forcément celui de rang 0. Supposons qu'on connait le terme Uk. [U_{n}=U_{k}+(n-k)times r] Lorsque l'on calcule la différence

    \[U_{n+1}-U_{n}\]

on obtient pour résultat la raison r. Ainsi, pour prouver qu'une suite est arithmétique, on calcule cette différence. Si elle est égale à une constante réelle, alors la suite est arithmétique de raison cette constante. De cette façon : Si r>0, la suite est croissante. Si r<0 la suite est décroissante. Si r=0, la suite est constante. Il est possible de calculer la somme des termes d'une suite arithmétique avec une formule simple :

    \[U_{0}+U_{1}+U_{2}+...+U_{n}=\frac{(n+1)(U_{0}+U_{n})}{2}\]

Si l'on ne commence pas la somme au premier terme mais au p-ième terme, on utilise :

    \[U_{p}+U_{p+1}+...+U_{n}=(n-p+1)\frac{U_{p}+U_{n}}{2}\]

De cette façon,

    \[1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\]

Suite géométrique

A quoi ressemble une suite géométrique ?
On s'intéresse maintenant à une autre suite particulière : la suite géométrique.

Une suite géométrique est une suite de la forme

    \[U_{n+1}=q\times U_{n}\]

où q est un nombre réel. q est appelé la raison de la suite. Par exemple,

    \[U_{n+1}=4U_{n}\]

avec

    \[U_{0}=2\]

est une suite géométrique. La forme explicite de la suite est de la forme [U_{n}=U_{0}times q^{n}] Dans notre exemple, on obtient

    \[U_{n}=2\times 4^{n}\]

Dans le cas général, lorsque l'on connait un des termes de la suite ainsi que son expression sous forme de récurrence on a [U_{n}=U_{p}times q^{n-p}] Faisons un exercice. On souhaite exprimer Un en fonction de n en partant de

    \[U_{n+1}=3U_{n}\]

avec

    \[U_{3}=2\]

On obtient

    \[U_{n}=2\times 3^{n-3}\]

En sachant que pour tout m on a 

    \[3^{-m}=\frac{1}{3^{m}}\]

On peut vérifier que les deux formules nous permettent d'obtenir les mêmes résultats :

Un+1=f(Un)U1=U2/3=2/9U2=U3/3=2/3U3=2U4=3xU3=6U5=3xU4=18
Un=f(n)U1=2x1/(3x3)=2/9U2=2x1/3=2/3U3=2U4=2X3+6U5=2x3x3=18
Pour prouver qu'une suite est géométrique, il faut prouver que le rapport

    \[\frac{U_{n+1}}{U_{n}}\]

est égal à une constante réelle qui correspondra à la raison q. Suite à ça, on en déduit les variations de la suite [(q^{n})] Si q>1, la suite est strictement croissante. Si q=1, la suite est constante. Si 0<q<1, la suite est strictement décroissante. Il est possible de calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique.

    \[U_{0}+U_{1}+...+U_{n}=U_{0}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]

Si l'on ne souhaite pas commencer au premier terme mais au p-ième terme, on a

    \[U_{p}+U_{p+1}+...+U_{n}=U_{p}\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}\]

En particulier, la somme des puissances d'un nombre donne :

    \[1+q+q^{2}+...+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]

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