Théorie

La dérivée, c'est un truc qui permet de calculer la pente d'une courbe (si elle monte de beaucoup ou pas). Prenons une fonction f et un point a sur l'axe des abscisses. On va chercher la pente de la courbe au point M d'abscisse a.

Sa pente est égale à la pente de sa tangente au même point. On sait calculer la pente d'une droite qui passe par deux points A et B avec la formule

Mais ici nous n'avons qu'un point M. Prenons un nombre h au hasard et placons le point N d'abscisse a+h.

Les points M et N ont pour coordonnées :

La droite (MN) a donc pour coefficient directeur :

On se rend compte que plus h est petit, plus la droite verte se rapproche de la droite rouge, c'est à dire que quand h tend vers 0, le nombre se rapproche du coefficient directeur de la droite rouge en x = a. Le nombre , si il existe, est égal à la pente de la courbe en x = a. C'est le nombre que l'on cherchait.
Il est noté . C'est la dérivée de f au point a.

Sur le dessin ci dessus, est positif car la tangente monte et donc le coefficient directeur de la tangente est positif. est également positif mais est moins grand car la tangente monte moins. On a aussi et

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C'est parti

Calcul de dérivée en un point

Calcul de la dérivée de la fonction en x = 2 :

Nous avons vu graphiquement ce qu'était la dérivée d'une fonction en un point, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Nous avons vu comment le calculer, c'est le calcul ci dessus. Comme pour chaque fonction f on peut à tout nombre a associer un nombre f'(a), on définit ainsi une fonction dérivée. La dérivée d'une fonction est la fonction à qui on donne un nombre a et qui nous ressort le nombre f'(a). Ci dessous un exemple à gauche de fonction f et à droite de sa dérivée f' avec quelques points pour se repérer.

Pourquoi ne pas réviser cela en cours de maths en ligne ?

Calcul de la dérivée d'une fonction

Nous allons voir maintenant les règles qui permettent de calculer la dérivée d'une fonction sans passer par le lourd calcul ci dessus. Il faut connaître les dérivées des principales fonctions et les règles de dérivation. Pour chaque exemple la dérivée de la fonction est donnée en dessous.

La dérivée d'une fonction constante vaut toujours 0 (la tangente étant horizontale, son coefficient directeur vaut 0).

Règles de dérivation

La dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées. Pour le produit, le quotient, ou la composition (fonction de fonction), ce n'est pas aussi simple. Si u et v sont deux fonctions, alors :

Toutes ces formules sont à savoir par coeur.

Exemples d'utilisation

En fait, si k est un nombre, la dérivée de ku vaut toujours ku'.

*** Calculer la dérivée de . On pose et . Alors et .
Donc:

*** Calculer la dérivée de .
On pose et . Alors et . Donc :

On peut s'amuser à développer puis à réduire le haut par contre le bas il vaut mieux le laisser comme ça (pratique pour le chapitre suivant).

*** Calculer la dérivée de .
On pose et , alors : et . Donc :

Fais bien attention de ne pas oublier la parenthèse dans l'expression précédant le dernier signe = , et bravo pour avoir lu cette page jusqu'au bout.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !