Suites

Une suite, c'est une suite de nombres qui se suivent dans un ordre logique.

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, etc.... et
5, -10, 20, -40, 80, -160, etc.... sont des suites

Si on appelle u la suite, alors on note son premier terme, son deuxième terme, son troisième, etc. Il y a deux manières d'écrire une suite sans écrire tous ses termes :
On peut donner la formule du terme général en fonction de n, pour le premier exemple, c'est .
On peut aussi l'écrire en donnant son premier terme et une relation entre deux termes qui se suivent. On dit qu'on la définit par récurrence. Pour la deuxième suite, cela donne :

Une suite est dite croissante si le terme est toujours plus grand que le terme . Pour démontrer qu'une suite est croissante, on peut calculer et montrer que le résultat est positif. Pour le premier exemple, donc la suite est croissante.

Une suite est majorée si il existe un nombre M tel que pour tout nombre n, (tous les termes sont plus petits que M). M s'appelle alors un majorant de la suite. On peut définir de la même manière une suite minorée. Une suite bornée est une suite qui est à la fois majorée et minorée. Les deux suites de l'exemple ne sont pas bornées.

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Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique lorsque - est constant. La raison d'une suite arithmétique est alors le nombre tel que l'on ait toujours . Le premier exemple tout en haut est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2 (on est obligé de donner le premier terme si on veut connaître la suite).

Pour calculer , remarquons que :

Donc :

L'utilisation de cette formule donne .

Il existe également une technique qui permet de calculer la somme des 47 premiers termes d'une suite arithmétique.
( est le 1er terme, donc est le 47ème terme !)

En additionnant les deux égalités puis en divisant le résultat par deux cela donne :

D'une manière générale :

Suites géométriques

Rien à voir avec la géométrie. Une suite est géométrique lorsque le quotient est constant.
Sa valeur q vérifie donc . q est également appellé la raison de la suite géométrique. La deuxième suite de la page est une suite géométrique de premier terme et de raison (-2). Pour calculer , remarquez que

D'une manière générale,

Avec cette formule, .

Il existe également une formule qui donne la somme des termes d'une suite géométrique, c'est la suivante :

On peut vérifier que la somme des 4 premiers termes de la suite géométrique de l'exemple vaut

On avait bien 5 - 10 + 20 - 40 = - 25.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !