I) Généralités

1. Fonction polynôme

  • Définition

Une fonction P, défnie sur R, est une fonction polynôme s'il existe un entier naturel n et n+1 réels a0, a1, a2......an tels que pour tout réel x, on ait :

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

  • Vocabulaire et écriture

Par abus de langage, on dit "polynôme" au lieu de "fonction polynôme".

Si an ≠ 0, le polynôme est de degré n.

Si an = 0, le degré du polynôme est l'indice i du premier terme ai non nul.

Les réels a0, a1, a2,... ,an sont les coefficients du polynôme.

Le terme "aixi" est le terme de degré i.

On appelle polynôme nul le polynôme dont tous les coefficents sont nuls. Si un polynôme de degré n (n > 0), et x un réel, P(x) s'écrit de manière unique :

P(x) =anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

  • Propriété

Deux polynômes sont égaux s'ils ont le même degré et si les coefficeints des termes de même degré sont identiques. La somme et le produit de deux polynômes P et Q sont des polynômes.Soit p le degré de P et q le degré de Q. Le degré de P*Q est  p + q

2. Racine d'une fonction polynôme

  • Définition

Un réel a est un racine de P si P(a) = 0.
On dit aussi que a est solution de l'équation P(x) = 0.

  • Propriété

Si a est une racine d'un polynôme P de degré n, alors il existe un polynôme Q de degré n-1 tel que pour tout x ∈ R.

P(x) = (x-a) Q(x).

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II) Polynôme du second degré

1. Définition

  •  On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré une fonction définie sur R par :
P(x) =  ax² +  bx +  c

où a est un réel non nul et b et c sont deux réels quelconques.

  • Un tel polynôme peut s'écrire sous une forme dite canonique :
P(x) = a( (x + b/2a)²  -  b² - 4ac/4a² )

On peut peut vérifier que le développement de cette expresssion donne P(x)=ax²+bx+c

2. Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme :

Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée Δ qu'on  appelle le discriminant.

Δ = b² - 4ac.
  • 1er cas  : Δ > 0

Le polynôme du second degré admet alors deux racines distinctes x1 et x2  données par les expressions :

x1 = -b - √Δ / 2a   et  x2 = -b + √Δ / 2a

Le polynôme peut alors s'écrire sous la forme factorisée :

P(x) = a(x -x1) (x - x2)

Pour tout x appartenant à ]-∞ ; x1[ ∪]x2 ; +∞[, P(x) est de même signe que le coefficient a.
Pour tout x appartenant à ]x1 ; x2[, P(x) est de signe opposé à celui de a.

  • 2ème cas : Δ = 0

Le polynôme du second degré admet alors une unique racine ( on dit une racine double). Cette racine est de la forme :

x1 = -b/2a

Le polynôme peut alors s'écrie sous la forme factorisée :

P(x) = a(x - x1)²

Pour tout x appartenant à R, le signe du polynôme est donc le même que celui de a.

  •  3ème cas : Δ < 0

Le polynôme du second degré n'admet alors aucune racine, il est de signe constant pour tout x de R.
Pour déterminer le signe de P, on peut calculer P(0) = c. L e polynôme est donc du signe de c.

3.Représentation graphique :

La représentation graphique d'un polynôme du second degré
P(x) = ax² + bx + c est une parabole de sommet S(-b/2a ; Δ/4a).

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !