Résolution de l'équation

Une équation du deuxième degré, c'est une équation comme ça :, comme ça : , ou encore comme ça : , bref, c'est une équation de la forme . La résolution de cette équation est longue,si tu n'es pas en première S, tu peux sauter toute la partie de la page comprise entre les deux traits verts. Sache tout de même que se lit "est équivalent à" et que est une lettre grecque qui se lit "delta".

Alors voila on doit résoudre dans le cas général l'équation . Le nombre a est différent de 0 car sinon l'équation serait du premier degré. On peut donc tout diviser par a, le reste est une succession de calculs élémentaires et de factorisations.

Dans le but de simplifier les calculs, à la dernière ligne, on a posé . Remarquons ici que :
Si alors l'équation ne peut pas avoir de solution (un truc positif moins un truc négatif ça ne peut pas faire zéro).
Si , alors :

Si , continuons le calcul :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul. Donc :

Pour récapituler, quand on veut résoudre une équation de la forme , par exemple l'équation , on calcule en premier le nombre , et ensuite il y a 3 cas :
Si , alors l'équation n'a pas de solution,
Si , alors l'équation admet une seule solution qui vaut , et
Si , alors l'équation admet deux solutions, qui dans notre cas valent :

Tu peux vérifier pour t'entraîner que l'équation n'a pas de solution, que l'équation admet une unique solution qui est x = - 1, et que l'équation admet deux solutions qui sont et x = -2,5.
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Représentation graphique

Une fonction se représente par une parabole. Les coordonnées du sommet S de la parabole sont :

Si le nombre a devant x est positif, alors le sommet est en bas de la parabole , sinon il est en haut de la parabole. La parabole touche l'axe des abscisses autant de fois que l'équation admet de solutions. Par exemple,

Si a > 0 et , la parabole est tournée vers le haut et coupe deux fois l'axe des abscisses :
Si a < 0 et , la parabole est tournée vers le bas et ne coupe pas l'axe des abscisses :

Ces considérations sont utiles lorsque l'on veut résoudre une inéquation du second degré.

Inéquations du second degré

Pour résoudre une inéquation du type , on commence par résoudre l'équation on fait un petit dessin comme ci dessus pour deviner l'allure de la courbe, puis on lit les solutions sur le graphique, ici cela donnera :

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !