Définition du barycentre

Si on prend une plaque triangulaire, que l’on pose dessus au point A un poids de 1kg, en B un poids de 2kg, et en C un poids de 3 kg, le barycentre du système est le centre de gravité de la plaque, c’est à dire le point où on peut la faire tenir en équilibre. Appelons le G. G n’a rien à voir avec le centre de gravité du triangle. On devine que G sera plus proche de C que de A. G vérifie l’égalité vectorielle :
D’une manière générale, le barycentre G de vérifie :

Construction du barycentre

Pour le construire sur le dessin, il faut décomposer 2 des 3 vecteurs en fonction de vecteurs que l’on peut tracer. C’est assez long mais simple :

G est donc ici :

Propriété fondamentale du barycentre

D’autre part, il faut savoir que si G est le barycentre du système , alors pour tout point M du plan, on a :

Le dessin ci dessous avec les chiffres du début l’illustre parfaitement.

Dans la pratique et dans les problèmes il faut en général placer M à un endroit particulier pour démontrer certains trucs.

Coordonnées du barycentre

Si A, B, et C sont 3 points dans un repère orthonormé, avec , et que G est le barycentre de , alors les formules suivantes donnent les coordonnées de G :

Les formules du barycentre se généralisent bien sur dans le cas où il y aurait plus de 3 points, on peut également prendre le cas particulier plus simple avec seulement 2 points. Enfin il faut savoir pour la culture que le barycentre d’un système de points qui ont tous le même coefficient (le même poids) est appellé l’isobarycentre.

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