Le parallélogramme

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses cotés opposés parallèles.

Propriétés

Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si les cotés opposés d’un quadrilatère non croisé sont de même longueur deux à deux,alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si un quadrilatère non croisé a deux cotés opposés parallèles de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

Si un quadrilatère non croisé a un centre de symétrie, alors c’est un parallélogramme.

Le parallélogramme est un type de quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. Ce milieu est également son centre de symétrie.

Calculs

L’aire d’un parallélogramme de base b et de hauteur h se calcule grâce à la formule suivante :

    \[ S = b \times h \]

Le périmètre du parallélogramme est égal à la somme de la longueur et de la largeur multipliée par deux. Voici la formule avec un parallélogramme dont la largeur est l et la longueur L :

    \[ P = ( L + l ) \times 2 \]

Les autres quadrilatères

Les quadrilatères sont des polygones à 4 côtés. Il en existe cependant 6 cas particuliers.

Définition du quadrilatère

Le quadrilatère est une figure géométrique qui remplit les conditions suivantes :

  1. Il dispose de 4 points A, B, C et D qui sont ses sommets ;
  2. Ses sommets sont opposés deux à deux : A et C sont opposés, tout comme B et D ;
  3. Les segments [AB], [BC], [CD] et [DA] sont ses côtés ;
  4. Les diagonales [AC] et [BD] rejoignent les segments opposés.

Un quadrilatère peut-être de différents types :

  • Il est dit convexe quand ses deux diagonales sont en son intérieur ;
  • Il est dit concave lorsqu’au moins une de ses diagonales  est à l’extérieur du quadrilatère ;
  • Il est dit croisé si les deux diagonales du quadrilatère sont à l’extérieur de celui-ci. Il est donc par extension également concave.

La somme des angles du quadrilatère est calculée par le théorème sur la somme des angles d’un polygone. Il indique que la somme des angles d’un quadrilatère non croisé est de 360°.

Le théorème sur la somme des angles d’un polygone dit que la somme des angles internes d’un polygone simple d’ordre n vaut, quelle que soit sa forme :

    \[S = ( n - 2 ) \times \pi \text { rad } = ( n - 2 ) \times 180 ° = n \times 180 ° - 360 °\]

Un quadrilatère est simplement une figure géométrique qui dispose de 4 points distincts et 4 côtés. Il en existe une infinité d’exemples mais seulement 6 quadrilatères particuliers.

Les différents quadrilatères

Le losange

Le losange est un quadrilatère dont la particularité est de posséder deux côtés consécutifs de même longueur.
Il arrive aussi parfois qu’il porte le nom de rhombe, ce qui lui vaut comme adjectif le mot rhombique.

Un rhomboèdre est donc un polyèdre à six face dont chacune d’entre elles est un losange.

Il s’agit d’un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre sommets distincts. Ses diagonales se coupent également en leur milieu et sont perpendiculaires. Il partage cette caractéristique avec les parallélogrammes.

Les diagonales d’un losange sont également les bissectrices de ses angles et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux.

Côté symétrie, un losange a toujours minimum deux axes de symétrie qui sont ses diagonales.

La carré et le rectangle sont des losanges particuliers.

L’aire du losange se calcule avec la formule suivante : 

    \[A ( l o s a n g e ) = \frac { d \times D } { 2 }\]

Le rectangle

Un rectangle se caractérise comme étant un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.

Pour prouver la présence d’un rectangle, il suffit qu’un parallélogramme ait un angle droit ainsi que ses deux diagonales soient de même longueur.

Comme ses côtés sont de même taille deux à deux, il est d’usage de ne distinguer que la longueur de la largeur. On peut donc y effectuer les calculs suivants.

Périmètre : 

    \[ 2 \times ( a + b ) \]

Aire : 

    \[ a \times b \]

Diagonale : 

    \[ \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \]

(ce calcul est fourni par le théorème de Pythagore)

Le carré

On peut définir le carré comme un quadrilatère régulier. Cela signifie qu’il a un certain nombre côtés qui sont tous de la même taille.

Il a les caractéristiques du losange et du rectangle. Ses 4 angles ont la même mesure et ses 4 côtés ont la même longueur.

Le carré possède 4 angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses 4 côtés sont de même longueur.

On peut utiliser ces formules ci-dessous pour effectuer des calculs sur les carrés.

Prenons un carré de côté c et de diagonale d.

Périmètre : 

    \[ 4 c = 2 \sqrt { 2 } d \]

Aire : 

    \[ c ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } d ^ { 2 } \]

Côté : 

    \[ \frac { d \sqrt { 2 } } { 2 } \]

Diagonale : 

    \[ c \sqrt { 2 } \]

De par sa régularité, le carré dispose de nombreux axes de symétrie. Toute droite passant par son centre de gravité le divise automatiquement en deux parties égales superposables.

Le cerf-volant

Le cerf-volant est une figure géométrique à quatre côtés dont l’une des diagonales est un axe de symétrie.

Il tire son nom de l’objet éponyme, le cerf-volant que les enfants ou les passionnés utilisent.

Le losange est un cas particulier du cerf-volant. Ce dernier dispose de quatre côtés égaux. et de quatre sommets distincts.

Le cerf volant est un certain type de quadrilatère. Il se distingue par le fait que l’une de ses diagonales soient l’un de ses axes de symétrie. Le losange est un cerf volant dont les 4 côtés sont de la même taille.

Le trapèze

Le trapèze est un parallélogramme dont les côtés opposés sont parallèles.

Il existe aussi des trapèzes rectangles : ces derniers possèdent deux angles droits consécutifs.

Pour calculer l’air d’un trapèze, on utilise cette formule :

    \[ \frac { ( a + c ) h } { 2 } \]

dans laquelle h représente la hauteur, a une base et c l’autre.

Voici un tableau récapitulatif des propriétés des quadrilatères quelconques :

Quadrilatère spécialPropriétés
TrapèzeUn quadrilatère est un trapèze si jamais deux de ses côtés sont parallèles et qu'il est non croisé
Parallélogramme

  • Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;

  • Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;

  • Deux de ses côtés sont parallèles et de même longueur ;

  • Ses diagonales se coupent en leur milieu.

Losange

  • Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur ;

  • Ses diagonales sont perpendiculaires.

Rectangle
  • Un de ses angles est droit ;

  • Ses diagonales sont de même longueur.
  • CarréSi un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors c'est un carré

    La détermination d’un quadrilatère

    Programme calculatrice TI

    Afin de faciliter la détermination de la nature d’un quadrilatère dans un repère, voici un programme traduit en langage des calculatrices Texas Instrument :

    : Prompt A,B,C,D,E,F,G,H
    : √((E-A)²+(F-B)²)->I
    : √((G-C)²+(H-D)²)->J
    : √((C-A)²+(D-B)²)->O
    : √((G-E)²+(H-F)²)->P
    : √((E-C)²+(F-D)²)->Q
    : √((G-A)²+(H-B)²)->R
    : If O=P and Q=R and O=R and P=R and Q=O and P=Q and I=J
    : Then
    : Disp “CARRE”
    : Else
    : If O=P and Q=R and O=R and P=R and Q=O and P=Q
    : Then
    : Disp “LOSANGE”
    : Else
    : If I=J
    : Then
    : Disp “RECTANGLE”
    : Else
    : If P=O and Q=R
    : Then
    : Disp “PARALLELOGRAMME”
    : Else
    : Disp “ QUELCONQUE”
    : End

    Voici aussi quelques exemples afin de tester votre programme :

    Carré

    A (-6;6) B (-4;6) C (-4;4) D (-6;4)

    Rectangle

    A (2;6) B (5;6) C (5;4) D (2;4)

    Losange

    A (-2;3) B (0;2) C (-2;1) D (-4;2)

    Parallélogramme

    A (-5;2) B (-2;2) C (-1;1) D (-4;1)

    Quelconque

    A (-3;5) B (-2;5) C (-1;4) D (-3;4)

    La calculatrice scientifique vous sera d’une grande aide dans vos exercices au quotidien. En effet, si vous savez bien vous en servir, elle vous permettra de réussir les calculs les plus compliqués tout en vérifiant les plus simples. N’hésitez pas à répondre en commentaire si vous souhaitez de l’aide pour l’utiliser ou des programmes pour vérifier vos exercices.

    Méthodes

    Voici quelques méthodes qui vous aideront à déterminer les natures de certains quadrilatères.

    Droites parallèles

    Deux droites sont parallèles si elles sont toutes les deux parallèles à une même droite.

    Parallélogramme

    Dans un quadrilatère ABCD, si les vecteurs AB et DC sont égaux, alors ABCD est un parallélogramme.

    Sinon, il n’est pas un parallélogramme.

    Procédure de détermination universelle

    Il est possible en partant d’un quadrilatère quelconque de déterminer sa nature. Il suffit pour cela de suivre une procédure simple.

    Déterminer si c’est un trapèze
    • Un quadrilatère est un trapèze si jamais deux de ses côtés sont parallèles et qu’il est non croisé ;
    • Sinon, il s’agit d’un quadrilatère quelconque.
    Déterminer si c’est un parallélogramme
    • Un trapèze est un parallélogramme si et seulement si au moins l’une de ces conditions est validée :
      • Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
      • Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
      • Deux de ses côtés sont parallèles et de même longueur ;
      • Ses diagonales se coupent en leur milieu.
    • Sinon, il s’agit d’un trapèze.
    Déterminer si c’est un losange
    • Un parallélogramme est un losange si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :
      • Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur ;
      • Ses diagonales sont perpendiculaires.
    • Sinon, il s’agit d’un parallélogramme quelconque.
    Déterminer si c’est un rectangle
    • Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :
      • Un de ses angles est droit ;
      • Ses diagonales sont de même longueur.
    • Sinon il s’agit d’un parallélogramme quelconque.
    Déterminer si c’est un carré
    • Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors c’est un carré.

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    Clément

    Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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