Chapitres
Introduction
Lorsque l'on étudie une fonction, on étudie ses variations, son signe, ainsi que ses limites aux bornes. Tend elle vers l'infini ? Admet elle une limite finie ? L'étude des limites est parfois compliquée : regardons les différents problèmes qui peuvent survenir.
Définition d'une limite

La limite d'une fonction en un point a est la valeur vers laquelle va tendre la fonction au point a, parfois sans jamais ne l'atteindre.
Soit f une fonction continue.
Lorsque une fonction f est définie au point a, sa limite en a est f(a). On note
Lorsque une fonction f n'est pas définie au point a, on étudie la limite au point a. C'est le cas notamment en +∞ et -∞. On cherche à comprendre vers quelle valeur tend la fonction en sachant qu'elle ne l'atteint jamais.
Il est important de connaître les limites de quelques fonctions de base.
La fonction carré tend vers l'infini en +∞ et -∞.
La fonction inverse tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ ou -∞. En 0-, la fonction tend vers -∞ et en 0+ la fonction tend vers +∞.

La fonction exponentielle est toujours positive. Elle tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini et tend vers 0 lorsque x tend vers -∞.
La fonction logarithme est défini uniquement sur l'intervalle ]0,+∞[. Elle tend vers -∞ lorsque x tend vers 0 et vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.
Propriétés et formes indéterminées
Les formes indéterminées sont :
Pour calculer les limites de fonctions, quelques propriétés sont à connaître concernant la somme, le produit et le quotient. On répertorie ses propriétés dans des tableaux en précisant les formes indéterminées.
Limites de somme
lim Un | L | L | L | +∞ | +∞ |
---|---|---|---|---|---|
lim Vn | L' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ |
lim (Un+Vn) | L+L' | +∞ | -∞ | +∞ | forme indéterminée |
Limites de produit
lim Un | L | L>0 | L>0 | L<0 | L<0 | +∞ | +∞ | -∞ | 0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
lim Vn | L' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ |
lim (Un x Vn) | L x L' | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ | +∞ | -∞ | +∞ | forme indéterminée |
Limites de quotient
lim Un | L | L | +∞ | -∞ | L≠0 | 0 | +∞ ou -∞ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
lim Vn | L'≠0 | +∞ ou -∞ | L≠0 | L≠0 | 0 | 0 | +∞ ou -∞ |
lim (Un/Vn) | L/L' | 0 | +∞ si L>0 -∞ si L<0 | -∞ si L>0 +∞ si L<0 | +∞ ou -∞ | forme indéterminée | forme indéterminée |

De plus, certaines limites concernant les exponentielles et les logarithmes sont à connaître.
La fonction exponentielle croit plus vite que x, ainsi on a
Pour tout n entier naturel,
De même,
Pour tout n entier naturel,
A l'inverse, la fonction logarithme croit moins vite que x. On a alors
Pour tout entier naturel n,
De même,
Pour tout entier naturel n,
On appelle cela la croissance comparée.
Ces limites nous permettent d'éviter des formes indéterminées.
Techniques pour résoudre les formes indéterminées

- Mettre en facteur le terme dominant, le terme de plus haut degré
Par exemple, calculons la limite en +∞ de
On observe une forme indéterminée ∞-∞.
Comme
et
tendent vers 0 en l'infini,
et
Ainsi, à l'aide des tableaux précédents, par produit des deux limites, la limite de la fonction en l'infini est +∞.
On en déduit une propriété : la limite d'une fonction polynomiale en +∞ et en -∞ est égale à la limite du terme de plus haut degré.
Un autre exemple, on veut calculer la limite en +∞ de
On note la forme indéterminée
La limite du numérateur est +∞ et la limite du dénominateur est 2.
Par quotient, la limite de la fonction en l'infini est +∞.
On en déduit une propriété : la limite d'une fonction rationnelle en +∞ et en -∞ est égale à la limite du rapport du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur.
Enfin, regardons un exemple composé de racine carrée.
Cherchons la limite en -∞ de
On a la forme indéterminée ∞-∞. On factorise sous les racines par x.
On a
et
Ainsi, par produit de limite, notre fonction tend vers -∞ lorsque x tend vers -∞.

- Utiliser les croissances comparées
Lorsque l'on calcule les limites de fonctions avec des exponentielles et des logarithmes, on utilise les croissances comparées.
Par exemple, on cherche la limite en +∞ de la fonction
On a la forme indéterminée ∞-∞.
On souhaite revenir à des limites connues. On factorise la fonction par x.
On sait, par croissance comparée, que
D'où, par somme,
Enfin, par produit de limites, comme
alors
- Utiliser le taux d'accroissement, la fonction dérivée
On utilise principalement cette solution lorsque l'on se retrouve face à la forme indéterminée
Par exemple, on cherche la limite en 0 de
On a la forme indéterminée
On pose f(x)= sin x. On sait que la dérivée de sin x est cos x.
On a alors
Ainsi,
La limite en 0 de
est 1.
Pour éliminer la forme indéterminée
on peut également utiliser la règle de l’hôpital.
Celle-ci dit que, si f et g sont deux fonctions dérivables en a telles que f(a)=g(a)=0 et g'(a) non nul alors
Prenons pour exemple la fonction rationnelle
et cherchons sa limite en 1.
On remarque la forme indéterminée
On applique la règle de l’hôpital.
La dérivée du numérateur est 2x-4 et la dérivée du dénominateur est 2x+3.
Appliqué au point 1, on obtient -2 et 5.
Ainsi,
La limite de notre fonction rationnelle au point 1 est
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Bonsoir. J’ai trouvé super bien la technique pour lever l’indétermination. Merci
corriger l’exercice qui contient les racines carrés.
x tend vers plus l’infini et non pas tend vers moins
l’infini. merci.
Merci pour vos efforts et demeurez dans cette excellence
sqrt(x) n’étant pas défini en moins l’infini, sa limite en moins l’infini ne peut pas tendre vers moins l’infini.
Article très intéressant. J’ai trouvé la réponse à ma question. Merci
merci pour tous vos efforts. Continuez
Pour la limite de sin(x)/x, il faut cependant remarquer que pour dire que la dérivée de sin est cos, on ya justement besoin de calculer cette limite (sin(x)/x lorsque x tend vers 0).
C’est un peu le serpent qui se mord la queue !
Limite lorsque x tend vers +l’infinie ×_racine ×+1