Introduction

Lorsque l'on étudie une fonction, on étudie ses variations, son signe, ainsi que ses limites aux bornes. Tend elle vers l'infini ? Admet elle une limite finie ? L'étude des limites est parfois compliquée : regardons les différents problèmes qui peuvent survenir.

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Définition d'une limite

Qu'est ce qu'une limite de fonction ?
Commençons par définir ce qu'est une limite de fonction.

La limite d'une fonction en un point a est la valeur vers laquelle va tendre la fonction au point a, parfois sans jamais ne l'atteindre.

Soit f une fonction continue.

Lorsque une fonction f est définie au point a, sa limite en a est f(a). On note

    \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)\]

Lorsque une fonction f n'est pas définie au point a, on étudie la limite au point a. C'est le cas notamment en +∞ et -∞. On cherche à comprendre vers quelle valeur tend la fonction en sachant qu'elle ne l'atteint jamais.

Il est important de connaître les limites de quelques fonctions de base.

La fonction carré tend vers l'infini en +∞ et -∞.

La fonction inverse tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ ou -∞. En 0-, la fonction tend vers -∞ et en 0+ la fonction tend vers +∞.

Qu'elle est la limite de la fonction inverse ?
Voici la fonction inverse. On observe très clairement ses limites aux bornes.

La fonction exponentielle est toujours positive. Elle tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini et tend vers 0 lorsque x tend vers -∞.

La fonction logarithme est défini uniquement sur l'intervalle ]0,+∞[. Elle tend vers -∞ lorsque x tend vers 0 et vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.

Propriétés et formes indéterminées

Les formes indéterminées sont :

    \[\frac{\infty}{\infty}\]

    \[\frac{0}{0}\]

    \[\infty-\infty\]

    \[0\times \infty\]

Pour calculer les limites de fonctions, quelques propriétés sont à connaître concernant la somme, le produit et le quotient. On répertorie ses propriétés dans des tableaux en précisant les formes indéterminées.

Limites de somme

lim UnLLL+∞+∞
lim VnL'+∞-∞+∞-∞
lim (Un+Vn)L+L'+∞-∞+∞forme indéterminée

Limites de produit

lim UnLL>0L>0L<0L<0+∞+∞-∞0
lim VnL'+∞-∞+∞-∞+∞-∞-∞+∞ ou -∞
lim (Un x Vn)L x L'+∞-∞-∞+∞+∞-∞+∞forme indéterminée

Limites de quotient

lim UnLL+∞-∞L≠00+∞ ou -∞
lim VnL'≠0+∞ ou -∞L≠0L≠000+∞ ou -∞
lim (Un/Vn)L/L'0+∞ si L>0
-∞ si L<0
-∞ si L>0
+∞ si L<0
+∞ ou -∞forme indéterminéeforme indéterminée
Qu'elle est la limite de la fonction exponentielle ?
Intéressons nous maintenant aux fonctions exponentielle et logarithme.

De plus, certaines limites concernant les exponentielles et les logarithmes sont à connaître.

La fonction exponentielle croit plus vite que x, ainsi on a

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty\]

Pour tout n entier naturel,

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^{x}}{x^n}=+\infty\]

De même,

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}xe^{x}=0\]

Pour tout n entier naturel,

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}x^ne^{x}=0\]

A l'inverse, la fonction logarithme croit moins vite que x. On a alors

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0\]

Pour tout entier naturel n,

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\]

De même,

    \[\lim_{x \rightarrow 0+}x \ln x=0\]

Pour tout entier naturel n,

    \[\lim_{x \rightarrow 0+}x^n \ln x=0\]

On appelle cela la croissance comparée.

Ces limites nous permettent d'éviter des formes indéterminées.

Techniques pour résoudre les formes indéterminées

Comment lever une forme indéterminée ?
Grâce à toutes nos propriétés, essayons maintenant de déterminer différentes limites qui possèdent des formes indéterminées.
  • Mettre en facteur le terme dominant, le terme de plus haut degré

Par exemple, calculons la limite en +∞ de

    \[ x^3-2x-5 \]

On observe une forme indéterminée ∞-∞.

    \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3-2x-5 \]

    \[ =\lim_{x \rightarrow +\infty} x^3(1-\frac{2}{x^2}-\frac{5}{x^3}) \]

Comme

    \[-\frac{2}{x^2}\]

et

    \[-\frac{5}{x^3}\]

tendent vers 0 en l'infini,

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty} 1-\frac{2}{x^2}-\frac{5}{x^3}=1\]

et

    \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3= +\infty \]

Ainsi, à l'aide des tableaux précédents, par produit des deux limites, la limite de la fonction en l'infini est +∞.

On en déduit une propriété : la limite d'une fonction polynomiale en +∞ et en -∞ est égale à la limite du terme de plus haut degré.

Un autre exemple, on veut calculer la limite en +∞ de

    \[ \frac{x^3+4x+1}{2x^2+x+5} \]

On note la forme indéterminée

    \[\frac{\infty}{\infty}\]

    \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3+4x+1}{2x^2+x+5} \]

    \[ =\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2(x+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(2+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2})} \]

    \[ =\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}} \]

La limite du numérateur est +∞ et la limite du dénominateur est 2.

Par quotient, la limite de la fonction en l'infini est +∞.

On en déduit une propriété : la limite d'une fonction rationnelle en +∞ et en -∞ est égale à la limite du rapport du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur.

Enfin, regardons un exemple composé de racine carrée.

Cherchons la limite en -∞ de

    \[\sqrt{4x+1}-\sqrt{x-3}\]

On a la forme indéterminée ∞-∞. On factorise sous les racines par x.

    \[\sqrt{x(4+\frac{1}{x})}-\sqrt{x(1-\frac{3}{x})}\]

    \[\sqrt x \sqrt{4+\frac{1}{x}}-\sqrt x \sqrt{1-\frac{3}{x}}\]

    \[\sqrt x (\sqrt{4+\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{3}{x}} )\]

On a

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt x=-\infty\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}\sqrt{4+\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{3}{x}}=2-1=1\]

Ainsi, par produit de limite, notre fonction tend vers -∞ lorsque x tend vers -∞.

Qu'est ce qu'un forme indéterminée ?
Regardons d'autres cas de figure, où l'on retrouve d'autres formes indéterminées.
  • Utiliser les croissances comparées

Lorsque l'on calcule les limites de fonctions avec des exponentielles et des logarithmes, on utilise les croissances comparées.

Par exemple, on cherche la limite en +∞ de la fonction

    \[f(x)=e^{x}-x\]

On a la forme indéterminée ∞-∞.

On souhaite revenir à des limites connues. On factorise la fonction par x.

    \[f(x)=x(\frac{e^{x}}{x}-1)\]

On sait, par croissance comparée, que

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty\]

D'où, par somme,

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^{x}}{x}-1=+\infty\]

Enfin, par produit de limites, comme

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty\]

alors

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\]

  • Utiliser le taux d'accroissement, la fonction dérivée

On utilise principalement cette solution lorsque l'on se retrouve face à la forme indéterminée

    \[\frac{0}{0}\]

Par exemple, on cherche la limite en 0 de

    \[\frac{\sin x}{x}\]

On a la forme indéterminée

    \[\frac{0}{0}\]

On pose f(x)= sin x. On sait que la dérivée de sin x est cos x.

On a alors

    \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)\]

Ainsi,

    \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x - 0}{x-0}=\cos 0=1\]

La limite en 0 de

    \[\frac{\sin x}{x}\]

est 1.

Pour éliminer la forme indéterminée

    \[\frac{0}{0}\]

on peut également utiliser la règle de l’hôpital.

Celle-ci dit que, si f et g sont deux fonctions dérivables en a telles que f(a)=g(a)=0 et g'(a) non nul alors

    \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\]

Prenons pour exemple la fonction rationnelle

    \[\frac{x^2-4x+3}{x^2+3x-4}\]

et cherchons sa limite en 1.

On remarque la forme indéterminée

    \[\frac{0}{0}\]

On applique la règle de l’hôpital.

La dérivée du numérateur est 2x-4 et la dérivée du dénominateur est 2x+3.

Appliqué au point 1, on obtient -2 et 5.

Ainsi,

    \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^2-4x+3}{x^2+3x-4}=-\frac{2}{5}\]

La limite de notre fonction rationnelle au point 1 est

    \[\frac{2}{5}\]

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