Les propriétés à connaître pour le brevet

De la 6ème à la 4ème

Partie 2

Comment utiliser ce formulaire en cours de maths en ligne ?

Les tableaux sont à 4 colonnes :

Hypothèses Propriété Conclusion Modélisation
Ce que vous savez, ce qui est donné par l’énoncé ou la figure. Une propriété, une définition, un théorème… pour démontrer votre résultat. Ce que vous avez démontré avec la propriété. Il s’git de la réponse à la consigne. Un schéma destiné à vous faciliter la compréhension de la propriété.

Pour utiliser ces tableaux, commencez par chercher la propriété dont vous avez besoin, en vous aidant des schémas. Ensuite, votre démonstration doit se faire ainsi :

  • On sait que … (hypothèses, à adapter à votre situation)
  • Or, par propriété/par définition/d’après le théorème de… (Propriété)
  • Donc, (Conclusion, à adapter à votre situation)

Vous pouvez télécharger ce document (word) en cliquant ici.

Partie précédente : propriétés des droites et des segments

Partie suivante : Tangente et distance

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V- Les triangles

Hypothèses Propriété Conclusion Modélisation
ABC est un triangle,  et La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
ABC est un triangle, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. (MN) // (BC)
ABC est un triangle, M est le milieu de [AC] et (d) est parallèle à (CB) et passe par M. La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et qui est parallèle au second côté coupe le troisième côté en son milieu. (d) passe par le milieu de [AB]
ABC est un triangle, N est le milieu de [AB] et M est le milieu de [AC]. La longueur du segment joignant les milieux de 2 côtés d’un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. MN = ½ BC

BC = 2 MN

ABC est un triangle, N est un point de [AB], M est un point de [AC] et (MN) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès, on a :  

 

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VI- Les droites remarquables des triangles

Hypothèses Propriété Conclusion Modélisation
LMN est un triangle, I est le milieu de [LM] et (d) est la perpendiculaire à (LM) passant par I La droite qui passe par le milieu d’un segment et qui lui est perpendiculaire est la médiatrice de ce segment. (d) est la médiatrice du segment [LM].
LMN est un triangle, (d) est la médiatrice de [LM] et (d’) est la médiatrice de [LN] et coupe (d) est O. Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle. La médiatrice de [MN] passe aussi par O.

O est le centre du cercle circonscrit au triangle LMN.

LMN est un triangle et (d) est perpendiculaire à (LM) et passe par N. La droite qui est perpendiculaire à un côté d’un triangle et qui passe par le sommet opposé est une hauteur de ce triangle. (d) est la hauteur relative au côté [LM].

(d) est la hauteur issue du sommet N.

LMN est un triangle, (d) est la hauteur issue de L et (d’) est la hauteur issue de M et coupe (d) est H. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre. La hauteur issue de N passe aussi par H.

H est l’orthocentre du triangle LMN.

LMN est un triangle, I est le milieu de [LM] et (d) passe par I et N. Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un segment et qui rejoint le côté opposé est une médiane de ce triangle. (d) est la médiane relative au côté [LM].

(d) est la médiane issue du sommet N.

LMN est un triangle, (d) est la médiane issue de L et (d’) est la médiane issue de M et coupe (d) en G. Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité de ce triangle. La médiane issue de N passe aussi par G.

G est le centre de gravité du triangle LMN.

ABC est un triangle, (AA’), (BB’) et (CC’) sont ses trois médianes et G est le point de concours des médianes. Le centre de gravité d’un triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. AG = 2/3 AA’

BG = 2/3 BB’

CG = 2/3 CC’

LMN est un triangle et (xN] est une demi-droite tel que La demi-droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe l’angle en deux secteurs de même mesure est une bissectrice de ce triangle. (xN] est la bissectrice de l’angle
LMN est un triangle, (d) est la bissectrice issue de L et (d’) est la bissectrice issue de M et coupe (d) en O. Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit dans ce triangle. La bissectrice issue de N passe aussi par O.

O est le centre du cercle inscrit dans le triangle LMN.

VII- Triangle rectangle

Hypothèses Propriété Conclusion Modélisation
REC est un triangle rectangle en E D’après le théorème de Pythagore, la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse. RE² + CE² = RC²

RE² = RC² - CE²

CE² = RC² - RE²

ABC est un triangle tel que AB² = BC² + AC² D’après la réciproque du théorème de Pythagore, si la somme des carrés de deux côtés d’un triangle est égale au carré du plus grand côté, alors ce triangle est rectangle. ABC est rectangle en C.
RES est un triangle rectangle en E. Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l’hypoténuse de ce triangle. [RC] est le diamètre du cercle circonscrit.

La médiane issue de l’hypoténuse mesure RC/2.

ABC est un triangle, c est son cercle circonscrit passant donc par A, B et C et [BC] est un diamètre du cercle c. Un triangle inscrit dans un cercle dont l’un des côtés est un diamètre de ce cercle est un triangle rectangle. ABC est un triangle rectangle en A.
REC est un triangle rectangle en E. Le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est égal au quotient du côté adjacent sur l’hypoténuse.  

 

 

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !