Exercice 1

1. Calculer A en détaillant les étapes du calcul. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
A = 1/3 + 5/6  :  3/2

=  1/3 + (5 / 6) x (2 / 3)
= 1/3 + (5 x 2) / (2 x 3 x 3)     ( on exprime les 2 termes avec le même dénominateur)
= 3/(3 x 3)  +  5  / (3 x 3)
= (3+5) / 9
= 8 / 9     c'est une fraction irréductible  : (2 x 2 x 2 ) / (3 x 3)

2. Ecrire B sous forme  a √5  où a est un nombre entier. Détailler les étapes du calcul.

B = 50 √45  - 3 √5  + 6 √125
= 50 √(9 x 5)  - 3 √5 + 6 √(5 x 5 x 5)
= 50 √(3 x 3) x  √5 - 3 √5 + 6 √5 x 5 √5
= 50 x 3 √5 - 3 √5 + 6 x 5 √5
= ( 50 x 3 - 3 + 6 x 5) √5
= 177 √5

3. Calculer C et donner son écriture scientifique en détaillant les étapes du calcul.

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Exercice 2

Soit D = (2x + 3)2 + (2x + 3) (7x - 2)

1) Développer et réduire D.

Pour développer D on utilise d'une part l'identité remarquable (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 et d'autre part (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

On obtient donc :

D = 4 x2 + 12 x + 9 + 14 x2 – 4x +21 x – 6

= 18 x 2 + 29 x + 3   (pour réduire on regroupe les termes avec  x 2,  x ensemble)

2) Factoriser D.

Pour factoriser,
il faut repartir de l'expression initiale (pas la forme développée) et
regarder ce qu'on peut mettre en facteur : ici (2x + 3) que l'on
retrouve dans les 2 termes

D = (2x + 3) ( 2x + 3 + 7x -2) = (2x + 3) (9x +1)

3) Calculer D pour x = -4.

On utilise la forme factorisée (trouvée au numéro 2)

D = (-8 + 3) ( -36 + 1) = - 5  * -35 = 175

4) Résoudre l'équation ( 2x + 3 ) ( 9x + 1 ) = 0.

On utilise la propriété qui dit que un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des deux facteurs est nul

L'équation est résolue si et seulement si :

2 x + 3 = 0 ou 9x + 1 = 0

C'est-à-dire x = -3/2 ou x = -1/9

Exercice 3

Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Etant très
généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les
partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir
le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.

1.
Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises
(Pierre étant inclus dans ces personnes !) ? Expliquer votre
raisonnement.

Pour pouvoir partager équitablement  et les sucettes et les bonbons, il faut que le nonbre de sucettes et le nombre de bonbons soient tous les 2 un multiple du nombre de personnes. Il faut donc que le nombre de sucettes et le nombre de bonbons soient divisibles tous les 2 par le nombre de personnes ; le nombre de personnes maximum est donc le plus grand diviseurs des 2 nombres, 84 ei 147, autrement dit le PGCD de 84 et 147.

Pour
trouver le PGCD de deux nombres entiers, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide.

étape 1 : On
divise 147 par 84
147 = 1 x 84 + 63 le reste est 63
étape
2 :
On divise
84 par le reste 63
84
= 1 x 63 + 21
le
reste est 21
étape
3 :
on divise
63 par le reste 21
63
= 3 x 21
le
reste est 0

 

 

 

 

 

le PGCD est 21

C'est donc le nombre maximum de personnes cherché

2. Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?

147 = 21 x 7
84 = 21 x 4

chacune des 21 personnes recevra 4 sucettes et 7 bonbons.

Exercice 4

1. Résoudre le système suivant :

on va multiplier la première équation par 3 :   24x + 9 y =  118 ,5
puis on fait la différence entre les 2 équations - on obtient le système suivant :

{24x + 9 y = 118,5
{7x + 9y = 50,5

{17x = 68
{7x + 9 = 50,5

{x = 68/17 = 4
{7x + 9 y = 50,5

{x = 4
{9y = 50,5 -7 * 4

{x = 4
{y = (50,5 - 28)/9 = 22,5/9 = 2,5

2. Une balade d'une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.

Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50€.
Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50€.
Quel est donc le prix d'un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?

soit x le prix d'un ticket pour adulte et y le prix d'un ticket pour enfant.
8x + 3 y = 39,5        (8 adultes et 3 enfants paient 39,50 €)

7x + 9 y = 50,5 (7 adultes et 9 enfants paient 50,50 €)

on retrouve le système d'équations résolue dans la question 1)

x = 4 et y 2,5

donc le prix d'un ticket adulte est égal à 4 € et le prix d'un ticket enfant est égal à 2,50 €.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !