Exercice et solution

Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie 95 euros.

Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire, on paie 55,50 euros.

Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier.

1. On détermine les inconnues :

Dans cet exercice, on cherche deux éléments le prix d'un kilogramme de vernis et le prix d'un litre de cire, on posera donc :

soit x le prix d'un kilogramme de vernis

soit y le prix d'un litre de vernis

2. On traduit l'énoncé en équations mathématiques :

Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie 95 euros.

Le prix de 6 kilogrammes de vernis est 6 fois celui d'un kilogramme, donc 6x.

Le prix de 4 litre de cires est 4y.

Donc on obtient 6x + 4y = 95

Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire, on paie 55,50 euros.

Le prix de 3 kilogrammes de vernis est 3x.

Le prix de 3 litres de cires est 3y.

Donc on obtient 3x + 3y = 55,5.

Les prix cherchés sont donc les solutions du système suivant :

6x + 4y = 95

3x + 3y = 55,5

3. Résolution du système

Méthode 1 : par substitution

On utilise la deuxième équation?

3x + 3y = 55,5

Donc en divisant les deux membres de l'égalité par trois, on obtient :

x + y = 18,5

D'où   y = 18,5 - x

On substitue alors y par son expression 18,5 - x dans l'autre équation

6x + 4y = 95 devient :

6x + 4 (18,5 - x) = 95

On développe :

6x + 74 - 4x = 95

2x = 95 -74

2x = 21

x = 10,5

Et comme on sait que y = 18,5 - x

Alors y = 18,5 - 10,5 = 8

On trouve x = 10,5 et y = 8

Methode 2 : par combinaison

On multiplie par deux la deuxième équation, on obtient le système suivant

6x + 4y = 95

6x + 6y = 111

Il suffit alors de soustraire les deux équations pour "faire disparaître les x".

6x + 4y - (6x + 6y) = 95 - 111

6x + 4y - 6x - 6y = -16

-2 y = - 16

y = (-16 ) / (-2)

y = 8

Il faut alors remplacer y par sa valeur dans l'une des deux équations et on a alors une équation à une seule inconnue à résoudre.

6x + 4*8 = 95

6x + 32 = 95

6x = 95-32

6x = 63

x = 63/6 = 21/2 = 10,5

On trouve x = 10,5 et y = 8

Un kilogramme de vernis coûte 10,50 euros et un litre de cire coûte 8 euros.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !