Partie 1

1)

Dans le triangle ABC, comparons le carré du côté le plus long à la somme des carrés des deux autres côtés.

AB2 et AC2 + BC2

17.52 et 10.52 + 142

306.25 et 110.25 + 196

306.25 = 306.25

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

2)

- On sait que : (RP) // (SC) et (RS)//(CP)

Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme.

Donc PRSC est un parallélogramme.

- On sait que : Angle BAC = 90 ° donc par construction, Angle PCS = 90 °

Or un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.

Donc PRSC est un rectangle.

3) BP = 5 cm

a.

Soient (AR) et (CP) deux droites secantes en B tel que (PR) // (AC). D'après le théorème de Thalès, on a :  BR/BA = BP/BC = PR/AC

BP/BC = PR/AC

PR = AC x BP/BC

PR = 10.5 x 5/14

PR = 3.75 cm

b.

P appartient à [BC] donc : BC = BP + PC

soit : PC = BC - BP = 14 - 5 = 9 cm

Soit A l'aire du rectangle PRSC :

A = PC x RP

A = 9 x 3.75

A = 33.75 cm2

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Partie 2

1)

Longueur BP en cm
  0
1
3 5 8 10 12 14
  Aire de PRSC en cm2
0
 9.75
 24.75
 33.75
 36
  30
  18
  0

 

D'après la partie 1 :

- PR = AC x BP/BC

- PC = BC - BP 

- A = PC x RP

A = ( BC - BP ) ( AC x BP/BC )

A = ( 14 - 10 ) ( 10.5 x 10/14)

A = 30 cm2

 

2) 

Graphiquement :

a. BP = 2 cm ; BP = 12 cm

b. BP = 7 cm

c. 36 < A < 38

Partie 3

 

1)

P appartient à [BC] donc :

BC = BP + PC

PC = BC - BP

PC = 14 - BP

 

2) (On peut aussi utiliser le théorème de Thales comme dans la partie 1 question 3 a.)

- Dans le triangle BPR rectangle en P, on a :

tan (Angle RBP) = PR / BP

PR = BP x tan (Angle RBP)

PR = BP x tan (36.87 °)

PR = 0.75 x BP

 

3)

Si PR = PC alors PRSC est un carré.

PR = PC

0.75 x BP = 14 - BP

0.75 BP + BP = 14

1.75 BP = 14

BP = 14 / 1.75

BP = 8 cm

Si BP a pour mesure 8 cm alors PRSC est un carré.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !