Chapitres

Le sujet

Dans tout ce sujet, les figures données ne sont pas à l'échelle.


L'unité de longueur utilisée est le cm, l'unité d'aire est le cm² et l'unité de volume est le cm3.

 

On considère une pyramide régulière à base carrée ABCD et de sommet principal S.

On nomme O le centre du carré ABCD et M le milieu du segment .

On rappelle que le triangle OSM est rectangle en O.

On donne : OS = 12 et AB = 6.

PARTIE A :

1) a) En utilisant le triangle ABC démontrer que OM = 3.

b) Dessiner en dimensions réelles le triangle OSM.

2) Placer sur le segment un point O' et sur le segment le point M' tel que
soit parallèle à .

a) On pose O'S = x, x désignant un nombre positif inférieur ou égal à 12.

Exprimer la longueur OO' en fonction de x.

b) Démontrer que O'M' = 0,25 x

PARTIE B :

On coupe la pyramide SABCD précédente par un plan parallèle à la base et passant par le point O' du segment .

On nomme A', B', C', D' les intersections respectives des segments , , et avec le plan de coupe. A partir du carré A'B'C'D' on construit le parallélépipède A'B'C'D'HGFE tel que le carré EFGH soit dans le plan de la base ABCD.

On pose comme en partie A : O'S = x.

1) Exprimer en fonction de x :

a) La longueur A'B' (on admettra que A'B' = 2 O'M').

b) L'aire du carré A'B'C'D'.

c) Le volume V(x) du parallélépipède A'B'C'D'HGFE.

(on montrera que V(x) = 3x² - 0,25x3).

2) Recopier et compléter le tableau suivant :

 

X

4

7

10

V(x)

 

3) On donne ci-dessous la représentation graphique de V dans un repère du plan.

(V(x) est l'image de x et se lit en ordonnée comme indiqué sur le graphique).

a) On peut lire sur le graphique deux valeurs de x pour
lesquelles V(x) = 32. L'une figure dans le tableau de la question 2
précédente, l'autre sera lue au dixième près sur le graphique. Quelles
sont ces deux valeurs ?

b) Même question qu'au a ) mais avec cette fois V(x) = 50.

c) Sur le graphique, on constate et on admettra qu'il
existe une valeur a de x pour laquelle le volume du parallélépipède est
maximum. Donner, à l'aide d'une lecture graphique, une valeur approchée
de ce volume maximum ainsi qu'une valeur approchée du nombre a.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !