Chapitres
Le sujet
Dans tout ce sujet, les figures données ne sont pas à l'échelle.
L'unité de longueur utilisée est le cm, l'unité d'aire est le cm² et l'unité de volume est le cm3.
On considère une pyramide régulière à base carrée ABCD et de sommet principal S.
On nomme O le centre du carré ABCD et M le milieu du segment .
On rappelle que le triangle OSM est rectangle en O.
On donne : OS = 12 et AB = 6.
PARTIE A :
1) a) En utilisant le triangle ABC démontrer que OM = 3.
b) Dessiner en dimensions réelles le triangle OSM.
2) Placer sur le segment un point O' et sur le segment le point M' tel que
soit parallèle à .
a) On pose O'S = x, x désignant un nombre positif inférieur ou égal à 12.
Exprimer la longueur OO' en fonction de x.
b) Démontrer que O'M' = 0,25 x
PARTIE B :
On coupe la pyramide SABCD précédente par un plan parallèle à la base et passant par le point O' du segment .
On nomme A', B', C', D' les intersections respectives des segments , , et avec le plan de coupe. A partir du carré A'B'C'D' on construit le parallélépipède A'B'C'D'HGFE tel que le carré EFGH soit dans le plan de la base ABCD.
On pose comme en partie A : O'S = x.
1) Exprimer en fonction de x :
a) La longueur A'B' (on admettra que A'B' = 2 O'M').
b) L'aire du carré A'B'C'D'.
c) Le volume V(x) du parallélépipède A'B'C'D'HGFE.
(on montrera que V(x) = 3x² - 0,25x3).
2) Recopier et compléter le tableau suivant :
| X | 4 | 7 | 10 |
| V(x) |
3) On donne ci-dessous la représentation graphique de V dans un repère du plan.
(V(x) est l'image de x et se lit en ordonnée comme indiqué sur le graphique).
a) On peut lire sur le graphique deux valeurs de x pour
lesquelles V(x) = 32. L'une figure dans le tableau de la question 2
précédente, l'autre sera lue au dixième près sur le graphique. Quelles
sont ces deux valeurs ?
b) Même question qu'au a ) mais avec cette fois V(x) = 50.
c) Sur le graphique, on constate et on admettra qu'il
existe une valeur a de x pour laquelle le volume du parallélépipède est
maximum. Donner, à l'aide d'une lecture graphique, une valeur approchée
de ce volume maximum ainsi qu'une valeur approchée du nombre a.
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