Activités géométriques

Exercice 1

1. 9x2+ 25 + 30x

On applique l'identité remarquable (a+b)2 = a2+ 2ab+b2

(3x+5)2  = 9x2+ 25 + 30x

2. (x+1)(x-2)

Pour x= 4

(x+1)(x-2) = (4+1)(4-2)
................. = 5×2
................. = 10

3. 2√3

4. x = -10

5. 48 %

Exercice 2

1. On prend -2

- 2 + 4 = 2

2 x (-2) = -4

- 4 + 4 = 0

Le résultat est 0

2. On prend 5

5 + 4 = 9

9 x 5 = 45

45 + 4 = 49

Le résultat est 49

3. a. On prend 3

3 + 4 = 7

7 x 3 = 21

21 + 4 = 25 = 52

Le résultat est 52

On prend -1

-1 + 4 = 3

3 x -1 = -3

-3 + 4 = 1 = 12

Le résultat est 12

b. Oui, il en est toujours ainsi.

Soit x le nombre choisi au départ.

Le programme de calcul donne :

((x+4) × x) + 4 = x2 + 4 x + 4 [ on développe ]

....................... = (x+2)2   [ on factorise a2+ 2ab+b2 = (a+b)2 ]

Le résultat est donc toujours un nombre au carré.

 

4. On souhaite obtenir 1 comme résultat.

Il faut donc que (x+2)2  = 1

Donc (x+2)2 = 12 ou (x+2)2 = - 12

(x+2) = 1 ou  (x+2) = -1

x = -1 ou x = - 3

Il faut choisir le nombre -1 ou -3

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Activités géométriques

Exercice 1

1. a. Prouvons qu'ABC est un triangle rectangle en B

Le côté le plus grand est AC.

AC2 = 152= 225

AB2+ BC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225

AC2 = AB2+ BC2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

b.

2. a. Voir shéma

b. Prouvons que (CB) // (FE)

Dans le triangle ABC on a :

E ∈ [AB]

F ∈[AC]

FA/AC = 5/15= 1/3

AE/AB = 3/9 = 1/3

Donc FA/AC = AE/AB

D'après la réciproque du théorème de Thalès, (CB) // (FE)

3. Calcul de l'aire du triangle FEA

Aire du triangle = (base × hauteur) / 2

• Prouvons que le triangle FEA est rectangle en E.

(CB) // (FE)

(CB) ⊥(BA)

Lorsque deux droites sont parallèles, si une autre droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.

Donc (BA) ⊥ (FE)

(EF) ⊥ (FE)

Donc FEA rectangle en E.

La hauteur relative au côté [EA] est [FE].

• Calcul de FE

E ∈ [AB]

F ∈[AC]

(CB) // (FE)

D'après le théorème de Thalès :

FA/AC = AE/AB = FE/12

FE = (CB × AE) / AB

FE = (12 × 3 ) / 9

FE = 4 cm

• Calcul de l'aire du triangle FAE rectangle en  E

Aire du triangle = (base × hauteur) / 2

La hauteur relative au côté [EA] est [FE].

Aire (FAE) =  (AE × FE) / 2

Aire (FAE) = (3 × 4) / 2

Aire (FAE) = 6 cm2

Exercice 2

1. Quelle est la nature du triangle ABD ?

Le triangle ABD a pour cercle circonscrit le cercle de centre O et de diamètre [BD].

Or, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un côté du triangle, alors ce triangle est rectangle.

Donc ABD est rectangle en A

2. Calcul de l'angle ADB

• BCA = 60° car le triangle ABC est équilatéral

• BDA et BCA interceptent le même arc de cercle BA

Donc BCA = BDA

BDA= 60°

3. Démontrons que (DC) est perpendiculaire à (OE)

• E est l'image du point D par la translation de vecteur OC.

Donc ODEC est un parallélogramme.

• OD = OC car il appartienne au même cercle de centre O

Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange.

Donc ODEC est un losange.

• Les diagonales d'un losange sont perpendiculaire

Donc (DC) est perpendiculaire à (OE)

Problème

Partie I

On suppose que AE = 2 m

1. Justifions que HI = 3 m

• IBAE est un rectangle.

Un rectangle a ses côtés égaux deux à deux.

Donc IB = EA = 2 m

• HI = HB - IB

HI = 5 - 2 = 3 m

2. Démontrons que HE = 3, 75m

• IE = BA = 2,25 m car un rectangle a ses côtés égaux deux à deux.

• Dans le triangle HIB rectangle en I

D'après le théorème de Pythagore :

HE2 = HI2 + IE2

HE2 = 32 + 2,252

HE2 = 9 + 5, 0625

HE2 =14,0625

HE = √14,0625

HE = 3,75 m

3. Dans le triangle IHE rectangle en I

cos IHE = IH/HE

cos IHE = 3/3,75

cos IHE = 0,8

Donc IHE= 37°

Parties II

On suppose que IHE= 45°

1. Quelle est la nature du triangle HIE dans ce cas?

•  I = 90° car le triangle IHE est rectangle en I.

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°

Donc dans le triangle IHE :

E= 180 - I - H

E = 180 - 90 - 45 = 45°

• E= H

Un triangle qui a deux angles égaux est isocèle.

Donc le triangle HIE est rectangle et isocèle en I.

2. En déduire HI puis AE

• Calcul de HI

Donc HI = IE

Or IE = BA

Donc HI = BA = 2,25 m

• Calcul de  AE

AE = IB

Or IB = HB - HI

IB =  5 - 2,25 = 2,75 m

Donc AE = 2,75 m

Partie III

On suppose que IHE = 60°

1. Calcul de de la valeur arrondie HI au cm près

Dans le triangle IEH rectangle en I

tan IHE = IE/HI

HI= IE/ tan IHE

HI= IE/ tan 60°

HI = 1,30 m

2. Calcul de la valeur arrondie de AE au cm près

AE = IB

Or IB = HB - HI

IB = 5 - 1,30

IB = 3,7

Donc AE = 3,70 m

Partie IV

Une mesure possible de l'angle IHE : 55°

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !