Chapitres

Partie A

1. On cherche les limites en +∞ et en 0 de la fonction définie par:

Or on sait que (à savoir par coeur):

et:

Donc:

On sait aussi

Donc:

on a également:

Donc:

D'où finalement:

2. La fonction f est dérivable sur ]0;+∞[ comme produit de deux fontions dérivables sur cet intervalle.

On calcule la dérivée de f par la formule : (uv)'=u'v+uv'

On utilise également le fait que (u+v)'=u'+v'

On obtient pour tout x>0 :

Or on sait que:

On obtient donc:

3.a) La fonction u définir sur ]0;+∞[ par u(x)=lnx+x-3 est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée est :

u' est strictement positive sur ]0;+∞[ donc la fonction u est strictement croissante sur ]0;+∞[.

3.b) La fonction u est dérivable sur [2;3] et u' est strictement positive sur ]2;3[ donc u réalise une bijection strictement croissante de [2;3] dans [u(2);u(3)]

On calcule u(2) et u(3), on veut montrer que l'un est négatif et l'autre est positif. Ainsi, comme u est croissante on est certain qu'elle s'annulera entre 2 et 3 (elle passe d'une valeur négatif à une valeur positive)

u(2)=ln2+2-3=ln2-1≈-0.31  < 0

u(3)=ln3+3-3=ln3≈1,10   > 0

Donc l'équation u(x)=0 admet une unique solution α sur [2;3]

On cherche ensuite un encadrement de α à 0.01 près. C'est à dire on localise le changement de signe de u (avec le tableau de valeurs sur la calculatrice).

On constate que :

u(2,20)≈-0.01 <0

u(2,21)≈0.003  >0

On en déduit alors que 2,20<α<2,21

3.c) On peut résumer l'étude du signe de u dans le tableau suivant:

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Partie B

4.a) On constate que :

(Coup TRES classique! Cela peut vous permettre de vérifier votre dérivée de f ! bien souvent, u doit apparaître dans l'expression de la dérivée de f )

Or x² est toujours positif, donc le signe de f ' est celui de u.
On peut résumer l'étude du signe de f dans le tableau suivant:

4.b) On a u(α)=0

Donc ln(α)+α-3=0

Soit ln(α)=3-α

On remplace dans l'expression de f(α) :

Comme on sait que 2,20<α<2,21

On en déduit l'encadrement de -f(α) suivant : (on prend -f(α) pour simplifier les calculs dans un premier temps)

(puisque majorer un quotient de nombres positifs revient à majorer le numérateur et minorer le dénominateur)

Soit : 0.65<-f(α)<0.67

D'où l'encradrement de f(α) d'amplitude 2x10-2  :

-0,67<f(α)<-0,65

(on a multiplier par (-1) tous les membres, l'inégalité change donc de sens)

l'amplitude renseigne notamment sur le nombre de chiffres significatifs à mettre après la virgule.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !