Dans ce document, nous allons voir comment définir le sens de variations d'une suite pour déterminer si celle-ci est croissante ou décroissante sur un intervalle donnée. Nous verrons ensuite, pour terminer, ce en quoi la raison d'une suite arithmétique ou géométrique permet de conclure rapidement sur le sens de variation de celle-ci.

Soit u une suite numérique définie sur IN.

Si l'on affirme qu'une suite (u) est croissante, cela signifie que pour tout naturel n, on a un < un+1. Dans le cas contraire, dire qu'une suite (u) est décroissante signifie que pour tout naturel n, on a un > un+1.

Pour déduire le sens de variation d'une suite, il faut :

Avoir recours à l'étude de la différence un+1 – un

Si pour tout naturel n, un+1 – un > 0, alors la suite (u) est croissante.

Si pour tout naturel n, un+1 – un < 0, alors la suite (u) est décroissante.

Avoir recours à la comparaison un+1 / un à 1 pour conclure sur le sens de variation d'une suite

Si pour tout naturel n, un+1 / un > 1, alors la suite (u) est croissante.

Si pour tout naturel n, un+1 / un < 1, alors la suite (u) est décroissante.

Utiliser le sens de variation d'une fonction, si la suite est définie de façon explicite sous la forme un = f (n )

Dans ce cas on étudie les variations de la fonction f sur [ 0 ; +∞ [ en dérivant.

Si la fonction f est croissante sur [ 0 ; +∞ [, alors la suite (u) est croissante.

Si la fonction f est décroissante sur [ 0 ; +∞ [, alors la suite (u) est décroissante.

4 : En déduire du sens de variation d'une suite arithmétique par l'intermédiaire de sa raison r : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.

Lorsque r > 0 alors la suite est croissante.

Lorsque r < 0 alors la suite est décroissante.

5 : En déduire du sens de variation d'une suite géométrique par l'intermédiaire de sa raison r : Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.

Lorsque q > 1 alors la suite est croissante.

Lorsque 0 > q > 1 alors la suite est décroissante.

Si q < 0 alors la suite est alternée ( succession de termes positifs et négatifs ), elle n'est donc ni croissante ni décroissante.

En espérant que cette fiche vous sera d'une grande aide !

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Agathe

Professeur de langues dans le secondaire, je partage avec vous mes cours de linguistique !

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