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De quelle manière les particules chargés interagissant entre elles ?

Par Joy le 14/01/2019 Ressources > Physique-Chimie > Tout Niveau -PC > astuce > Les Principes de l’Électrostatique

L’électrostatique est l’étude des interactions entre particules chargées fixes dans le référentiel d’étude. C’est une sous-partie de l’électromagnétisme que l’on pourrait donc traiter avec comme point de départ les équations de Maxwell. Ce n’est pas le choix proposé par le programme qui privilégie une approche historique à partir de la loi de Coulomb.

Le champ électrostatique

Il est possible de définir un champ électrostatique à partir d’un champ électrique et d’un champ magnétique. Nous vous expliquerons pourquoi dans les paragraphes suivant.

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d’une particule chargée, les propriétés locale de l’espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu’on appelle l’action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu’il est le médiateur de la dite action à distance.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu’elles soient fixes ou mobiles, une force qu’on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d’étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l’action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu’elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l’espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d’étude, les charges sont fixes. Notons d’ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu’en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d’obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu’il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d’un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d’un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d’un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l’espace d’une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l’ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s’appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.

On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l’expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d’étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c’est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d’une composante induira la variation de l’autre composante.

D’ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l’électrodynamique quantique.

La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d’étude. Ce champ est donc déduit de l’expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Loi de Coulomb (1785)

Comment se remémorer une formule mathématique ? Les formules, bien que très nombreuses, sont essentielles à connaître que ce soit pour ce chapitre, les chapitre précédents ou encore les suivants.
C’est pour cela que nous vous conseillons de les mémoriser le plus tôt possible !

  • Définition d’une charge ponctuelle

  • Loi de Coulomb

  • La loi de Coulomb vérifie le principe des actions réciproques.

Coulomb, un physicien français, a établi en 1758 que le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l’exposant avec l’aide d’un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d’un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d’attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :

  • La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
  • Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
  • Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.

Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 :

    \[ \overrightarrow{ f _ { e } } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } }{ r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { e _ { r } } \]

    le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2

  •     \[ \epsilon _ { 0 } \]

    la permittivité diélectrique du vide

Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu’une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d’elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare.

Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d’obtenir la relation suivante :

    \[ \begin{cases} \overrightarrow { f } = q _ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \right] = q _ { 2 } \overrightarrow { E } \\ \overrightarrow{ E } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon } \frac { q _ { 1 } }{ r ^ { 2 } } \overrightarrow { e _ { r } } \end{cases} \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E }  \]

    un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2

Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d’interpréter l’existence d’une force à distance. En effet, la charge considérée comme « source », c’est-à-dire q1, crée en tout point de l’espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme « test » subira l’effet de ce champ sous la forme d’une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.

Principe de superposition

Il est possible d’appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :

  • La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
  • Un multiple d’une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.

Dans ce cas, c’est-à-dire celui d’un système physique, on peut appeler l’entrée excitation et la sortie réponse.

On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :

  • Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
  • Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .

Champ électrostatique

a. créé par une charge ponctuelle

b. créé par une distribution quelconque de charges

  • Le principe de superposition des forces entraîne une superposition des champs électrostatiques.

Le potentiel électrostatique

  • Créé par une charge ponctuelle
  • Généralisation par superposition

Les équations locale de l’électrostatique

Circulation de E

  • Circulation de E conservative
  • Lien avec le travail de la force électrostatique, énergie potentielle
  • Equation locale

Théorème de Gauss

  • Flux à travers une sphère du champ créé par une charge au centre
  • Énoncé du théorème de Gauss
  • Quelques conseils avant de l’utiliser !
  • Équation locale

Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d’un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme.

Il s’énonce ainsi :

Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.

  • Conclusion : les équations de Maxwell de l’électrostatique
  • Complément : équations de Poisson et de Laplace

Propriété de symétrie

Qu'est-ce-qu'un hyménoptère ? La symétrie est présente partout dans le monde tel que nous le connaissons. En effet, dans la phylogénie, on classe les êtres selon leur symétries : bilatérale ou radiale.

Invariances des charges

  • par translation
  • par rotation
  • Symétrie cylindrique

Mêmes résultats qu’en électrostatique et en magnétostatique !

Plan de symétrie ou d’antisymétrie des charges

  • En tout point d’un plan de symétrie des charges, le champ électrostatique est contenu dans ce plan.

  • En tout point d’un plan d’ antisymétrie des charges, le champ électrostatique est orthogonal à ce plan.

Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu’on effectue la la symétrie par rapport à ce plan.

Un plan est un plan d’ antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu’on effectue la symétrie par rapport à ce plan.

En tout point d’un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan.

En tout point d’un plan d’ antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.

Propriété topographique

Exemple : champ d’une charge ponctuelle

Propriétés des lignes de champ et surfaces équipotentielles

a. A partir de E=-gradV

  • Les lignes de champ électrostatique sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.

  • Le potentiel décroit le long des lignes de champ électrostatique. Elles ne sont donc jamais fermées.

b. A partir du théorème de Gauss

  • Conservation du flux de E dans une zone sans charge : la norme de E augmente là où les lignes de champ se resserrent.

  • Présence d’une charge là où le potentiel est maximal ou minimal, c’est à dire en un point d’où divergent ou convergent les lignes de champ électrostatique.

Lire une carte de champ électrostatique

Exemple de calculs de champs électrostatiques

Dipôle électrostatique (actif)

  • Intérêt du modèle : approximation dipolaire
  • Définitions : dipôle électrostatique et moment dipolaire
  • Potentiel créé
  • Champ électrostatique créé
  • Lignes de champ

Condensateur plan

  • Modèle utilisé
  • Champ créé par un plan infini uniformément chargé
  • Champ créé par le condensateur par superposition
  • Capacité
  • Densité volumique d’énergie électrostatique

Noyau atomique

  • Modèle utilisé
  • Énergie de constitution du noyau par analyse dimensionnelle
  • Champ et potentiel créés à l’extérieur d’une boule
  • Nouvelle évaluation de l’énergie de constitution du noyau

Dipôle électrostatique dans un champ extérieur

Actions subies

  • Dans un champ uniforme
  • Dans un champ quelconque

Énergie potentielle

Évolution d’un dipôle dans un champ extérieur

Un dipôle tend à aligner son moment dipolaire avec la ligne de champ électrostatique et à se déplacer vers les zones de champ intense.

Dipôles induits

a. Polarisabilité

b. Cas de l’atome d’hydrogène dans le modèle de Thomson

  • Le modèle de Thomson

  • Calcul du champ créé à l’intérieur d’une boule uniformément chargée

  • Équilibre de l’électron sans puis avec un champ extérieur

  • Polarisabilité

c. Forces de Van der Waals (dipôle-dipôle)

Analogie avec le champ gravitationnel

Quelle est l'influence de la lune sur les marées ? Notre planète bleue possède son propre champ gravitationnel qui permet de garder près de lui son satellite, la Lune, bien que celle-ci s’éloigne au fil du temps.

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l’espace et dû à la présence d’une masse qui est alors susceptible d’exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non.

On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d’un potentiel scalaire dit newtonien.

En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l’espace et dû à la présence d’une masse susceptible d’exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L’introduction de cette grandeur permet de s’affranchir du problème de la médiation de l’action à distance apparaissant dans l’expression de la force de gravitation universelle.

On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l’espace-temps. L’approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu’ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable.

On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l’expression du champ et du potentiel ne sont différents que d’une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s’appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu’attractif.

Application : champ de gravitation d’un astre

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