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Comment réussir la vérification de l’homogénéité d’une formule ?

Par Clément le 22/11/2018 Ressources > Physique-Chimie > Tout Niveau -PC > astuce > Vérifier l’Homogénéité d’une Formule

Quelques bases

Vérifier l’homogénéité de votre formule physique vous permettra d’éviter de nombreuses erreurs. Cela mettra en évidence que les deux membres vos équations sont à la même dimension et ainsi rendre votre travail logique.

Pour vérifier qu’une équation est bien homogène, il faut s’assurer que les deux parties de l’équation utilisent la même dimension. En effet, si ces dernières sont différentes, votre équation sera automatiquement considérée fausse. On appelle cela une analyse dimensionnelle.

Une analyse dimensionnelle consiste à décomposer les grandeurs physiques mises en jeu dans une formule afin de retrouver l’unité de la grandeur recherchée.

Voyons comment faire pour homogénéiser une équation.

Tout d’abord, il est important de savoir qu’on note A les grandeurs dans le cadre de ce cours. Les grandeurs physiques se notent entre crochets comme ceci : [A]

Il faut utiliser les 7 dimensions fondamentales du Système international afin d’homogénéiser les formules.

Le système international d’unités, abrégé en SI, est le système décimal des unités de mesures le plus utilisé au monde. L’ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d’unités. Il s’agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier.

Les voici représentées dans un tableau :

GrandeurSymbole de la grandeurSymbole de la dimension
Longueurl, x, rL
MassemM
TempstT
Intensité électriqueII
TempératureTΘ
Quantité de matièrenN
Intensité lumineuseIvJ

Voici quelques règles indispensables :

  • Toutes les grandeurs physiques s’expriment en fonction des unités de base MksA (mètre, kilogramme, seconde, ampère, kelvin, mole) ;
  • La dimension d’une somme de deux grandeurs est égale à la dimension des deux grandeurs ;
  • La dimension du produit de deux grandeurs A et B est égale au produit des dimensions de A et B ;
  • La dimension du quotient de deux grandeurs A et B est égale au quotient des dimensions de A et B ;
  • La dimension de la puissance n d’une grandeur physique A est égale à la puissance n de la grandeur A ;
  • Les fonctions constantes, cosinus, tangente, sinus, exponentielle et logarithme n’ont pas de dimension.

    \[ \left[A+B]= \left[A \right]+ \left[B \right]\]

    \[ \left[A×B]= \left[A \right] × \left[B \right]\]

    \[ \left[\frac{A}{B} \right]=\frac{ \left[A \right]}{ \left[B \right]}\]

    \[\left[A^n\right]=\left[A \right]^n\]

    \[ \left[ \frac{ \text{d}^nA}{ \text{d}B^n} \right]=\frac{ \left[A \right]}{ \left[B \right]^n}\]

    \[ \left[ \int_{}^{} A \text{d}B \right]= \left[A\right] \times \left[B\right]\]

Il existe aussi quelques grandeurs sans dimension. On les note habituellement Q. Cela arrive notamment dans le cas de deux grandeurs de la même nature. Par exemple, l’indice de réfraction d’un milieu est défini comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et celle dans ce milieu, il s’agit donc du rapport entre deux grandeurs de même nature. C’est une grandeur sans dimension.

Une bonne habitude à prendre est de vérifier systématiquement homogénéité de vos formules lorsque vous encadrez vos résultats finaux.

Les raisons de l’utilisation de cette méthode

Il est nécessaire de procéder, et ce de façon systématique, à une analyse dimensionnelle des grandeurs définies par les formules pour les raisons suivantes :

  • L’analyse dimensionnelle permet de comprendre la signification physique des termes apparaissant dans les expressions et équations littérales.
  • Elle permet de détecter les erreurs de calcul ou d’unité.
  • Elle permet également de déterminer la valeur approchée d’une grandeur sans pour autant résoudre de façon exacte le problème.

Pour toutes ces raisons, on vous recommande de vous exercer régulièrement à la vérification de l’homogénéité d’une formule pour que cela devienne un réflexe. Si vous réussissez l’exercice de façon fluide, rapide et naturelle, soyez certain que vous ne vous tromperez plus lors de vos examens. N’hésitez surtout pas à montrer vos propres exercices ou ceux que nous vous conseillons à votre professeur de physique-chimie afin qui puisse vérifier ce que vous faites et vous aider à comprendre vos erreurs.

Résoudre des équations différentielles du premier ordre

Utiliser l’analyse dimensionnelle vous aidera résoudre de nombreuses inéquations. De plus, cela ne demande que quelques étapes simples si vous maîtrisez correctement les formules à utiliser.

Pour résoudre une équation différentielle du premier ordre, il existe également des points à respecter. Les voici :

  1. Trouver toutes les solutions de la première équation homogène f1 ;
  2. Trouver l’une des solutions de la deuxième équation homogène 2 ;
  3. Faire la somme de toutes les solutions du premier membre et d’une des solutions du deuxième membre f =  + f2 ;
  4. Déterminer la constante A en utilisant f(0).

Une fois ce travail effectué, ne perdez pas de temps à redémontrer que l’équation est homogène. En effet, si l’une des deux partie l’est, l’autre l’est également.

Quelques formules utiles :

Les solutions de l’équation homogène suivante

    \[ \frac{ \text{d}f}{ \text{d}t}+ \frac{f}{ \tau}\]

sont les fonction f1 telles que 

    \[\forall t , f_1 (t) = Ae^ {-t/\tau}\]

où A est une constante appartenant à l’ensemble R des réels.

Une solution particulière de l’équation différentielle 

    \[\frac{ \text{d}f}{ \text{d}t}+ \frac{f}{ \tau} = C\]

avec C constante est la fonction constante suivante : 

    \[f_2 : \forall t, f_2 (t) = C \tau\]

Il est aussi possible de mettre sous forme canonique l’équation différentielle en faisant apparaître le temps caractéristique τ dans votre équation.

Exemples

Exercice 1

Au XIXe siècle, le médecin Jean-Marie Poiseuille relia le débit massique D d’un fluide visqueux dans un cylindre (c’est-à-dire la masse passant à travers le cylindre par unité de temps) à la variation de pression entre ses deux extrémités ∆P. Un étudiant ayant refait ses calculs propose la formule suivante :

    \[D= \frac{ \pi \rho^2a^3}{8 \eta \iota} \Delta P\]

Cette formule est-elle homogène ?

Données :

  • D peut s’exprimer en kg/s ;
  • ρ est la masse volumique du fluide ;
  • a est le rayon du cylindre ;
  • l la longueur du cylindre ;
  • η la viscosité en Pa.s. ;
  • On rappelle qu’une pression peut s’exprimer en Pa et est homogène à une force par unité de surface.

Exercice 2

Soit un générateur de tension de force électromotrice E qui alimente un circuit en série constitué d’un condensateur dont la capacité est notée C et d’un conducteur d’une résistance ohmique notée R. L’évolution temporelle de la charge q(t) du condensateur est régie par la formule suivante :

    \[q(t) = CE (1-ea^{-t/ \tau} \right)\]

où τ = RC.

Déterminez la dimension du paramètre τ et vérifiez l’homogénéité de cette relation.

Corrections

L’homogénéité des équations peut paraître un exercice difficile au premier abord. Cependant, avec de la méthode et en pratiquant, ce sera une vérification automatique que vous mènerez systématiquement lors de vos exercices sur le sujet.

Exercice 1

D’après les unités,

    \[\left [D \right] = M . T^{-1}\]

    \[\left[ \rho \right ] = M . L^{-3}\]

    \[\left[ \eta \right ] = \left[ P \right] . T\]

On peut ainsi déduire la dimension d’un des deux membres, celui de droite : 

    \[\left[ \frac{ \pi \rho^2a^3}{8 \eta \iota}\Delta P \right]= \frac{1.M^2L^{-6}.L^3 \left[P \right]}{1. \left[P \right].T.L} \]

Dans la mesure où il y a une masse au carré à droite, il faudrait absolument que le membre à gauche soit aussi au carré pour que la formule soit homogène. Ici ce n’est pas le cas, la formule n’est donc pas homogène.

Exercice 2

Pour résoudre cet exercice, il faut utiliser les relations de tension-intensité.

Pour le conducteur ohmique et le condensateur, on a :

    \[u_{R}= Ri\]

et

    \[i=C \frac{ \text {d}u_{C}} { \text{d}t}\]

On peut donc en déduire que :

    \[ \left[RC \right]= \left[R \right] \left[C \right]= \left[ \frac{u_R}{i} \right]  \left[  \frac{i}{  \left[  \frac{  \text {d}u_{C}}{ \text{d}t}\right]} \right]= \frac{ \left[u_R \right]}{ \left[i \right]}\frac{ \left[i\right]\left[t \right]}{  \left[u_C  \right]}= \left[t \right]=T\]

En conclusion, la constante τ est bien homogène.

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