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Les ondes progressives périodiques sinusoïdales

Par Yann le 15/03/2017 Ressources > Physique-Chimie > Terminale S > Ondes et phénomènes périodiques > Les ondes progressives périodiques sinusoïdales

Les ondes progressives périodiques

Une onde progressive correspond à la propagation dans l’espace et au cours du temps d’une perturbation.

Une onde progressive est dite périodique si la perturbation qui la caractérise se répète à intervalles de temps réguliers, appelés périodes et notés T.

Une onde ne peut être périodique que si sa source est elle-même périodique.

Comme tous les phénomènes périodiques, une telle onde est aussi caractérisée par sa fréquence f qui peut être calculée à partir de la relation suivante :   

    \[f=\frac{1}{T}\]

  • avec T en seconde (s)
  • f en Hertz ( Hz )

La fréquence caractérise la périodicité temporelle de l’onde. 

Dimension de propagation

Les ondes progressives périodiques peuvent se propager dans différentes direction de l’espace :

  • Les ondes transversales se « déplacent » perpendiculairement par rapport à la direction de propagation. C’est le cas pour un goutte à goutte régulier à la surface de l’eau.
  • Les ondes longitudinales se « déplacent » dans la même direction que celle de propagation. C’est le cas pour les ondes sonores et lumineuses.

Points en phase d’une onde progressive périodique

Si deux points de l’espace subissent des perturbations qui ont même valeur et varient dans le même sens alors ils sont dit en phase.

Exemple : dans le cas d’une onde périodique à une dimension qui se propage le long d’une corde, deux points sont en phase si l’élongation de la corde est la même avec une variation dans le même sens (les deux s’abaissent ou s’élèvent).

Que sont les points en phase sur une corde qui ondule ? Schéma représentant une corde oscillant périodiquement.

Sur la corde ci-contre :

  • Les points A et D sont en phase
  • Les points B et E sont en phase
  • Les points C et F sont en phase

Surface d’onde

La surface d’onde correspond à la surface formée par tous les points en phase, dans le milieu de propagation.

  • Si les surfaces d’ondes observées sont des lignes droites, l’onde est dite rectiligne. Ce phénomène est observable en cas d’une perturbation régulière issue d’une lame à la surface de l’eau par exemple.
  • Si les surfaces d’ondes observées forment des cercles successifs, l’onde est dite circulaire. C’est le cas de la perturbation dû à un goutte à goutte sur une surface d’eau.
  • Si la déformation a lieu dans un milieu tridimensionnel et que les surfaces d’ondes représentent des sphères successives, alors l’onde est dite sphérique. C’est le cas des ondes sonores, lorsque que l’émetteur peut être considéré comme une source ponctuelle dans le milieu étudié.

Les ondes progressives périodiques sinusoïdales

Une onde progressive est dite sinusoïdale si les variations de la perturbation se font en suivant la fonction mathématiques sinus.

On peut identifier ce type de fonction à partir du graphe comportant une alternance de « vagues » positives et négatives de mêmes amplitudes.

onde progressive périodique sinusoïdale

Exemple de représentation de la grandeur physique liée à une onde progressive périodique sinusoïdale

Une onde progressive sinusoïdale possède, en plus d’une périodicité temporelle, une périodicité spatiale (répétition de la déformation).

Si la périodicité temporelle est, nous l’avons vu, définie par la fréquence, la périodicité spatiale est, quant à elle définie, par la longueur d’onde.

La longueur d’onde d’une onde progressive périodique

Une onde progressive périodique est également caractérisée par une longueur d’onde. Celle-ci peut être définie deux manières :

  • Il s’agit de la distance qui sépare deux points en phase consécutifs.
  • Il s’agit également de la distance sur laquelle se propage une perturbation pendant une durée correspondant à une période. Comme pour les ondes électromagnétiques la longueur d’onde se note avec la lettre grecque λ et peut être calculée avec les relations suivantes : 

        \[\lambda=v\times T=\frac{v}{f}\]

    • avec  λ en mètre (m)
    • v (célérité de l’onde) en mètre par seconde (m.s-1)
    • T en seconde (s)
    • f  en hertz (Hz)

Célérité d’une onde progressive sinusoïdale

La célérité d’une onde progressive sinusoïdale est fonction des périodicités temporelle et spatiale. Elle correspond au temps nécessaire à un point pour parcourir la distance entre deux surfaces d’onde identiques (à l’amplitude maximale par exemple).

Il est préférable de parler de célérité plutôt que de vitesse, car il n’y a pas nécessairement de déplacement de matière dans le cas de l’onde progressive. La vitesse est plutôt utilisée dans le cas de déplacement d’un mobile par exemple.

La célérité d’une onde périodique sinusoïdale est constante dans le temps dans un milieu donné. Elle ne dépend pas de l’amplitude de l’onde. Par contre, elle est très dépendante du milieu de propagation.

Prenons l’exemple du ruban de gymnastique rythmique et sportive, que l’on assimilera à une corde. Admettons que la gymnaste imprime un mouvement sinusoïdal, la célérité de propagation de la déformation dépendra du diamètre du ruban, de son élasticité et de  sa densité donc du matériau qui le constitue. Pour un même mouvement l’impression visuelle sera grandement changée.

Le tableau suivant résume les conséquences sur la célérité d’une onde (même perturbation initiale) suivant le type de ruban (corde) :

RubanRuban 1
Ruban 2
Ruban 3
Ruban 4
Ruban 5
Rayon rr2rrrr
Densité dddd/2dd/2
Elasticité EEEEE/8
(8 fois plus élastique)
E/4
(4 fois plus élastique)
Célérité (m/s)cc/22cc/4c

Pour la gymnaste, le choix du matériau est primordial, car pour obtenir le même effet, elle devra imprimer un mouvement plus ou moins important et/ou rapide au départ suivant la nature du ruban.

Ainsi, l’on remarque que moins le ruban est dense, plus le mouvement se propage rapidement. Par contre, plus le ruban est épais ou élastique moins le mouvement se propage rapidement. Ceci se comprend aisément, car d’une part, plus la corde est lourde plus il est difficile à déformer, et d’autre part, plus elle est élastique plus elle aura une déformation qui « absorbera » l’énergie  d’oscillation apporteée par la source de l’onde.

A noter qu’en jouant sur plusieurs paramètres, il est possible d’obtenir une célérité identique avec une même impulsion initiale sur deux rubans de caractéristiques différentes.

Expression mathématique de l’onde sinusoïdale

Une onde périodique sinusoïdale, nous l’avons dit, suit une loi mathématique : la fonction sinus.

Cette propriété permet de pouvoir connaitre les caractéristiques de l’onde au cours du temps et en fonction de l’espace.

Si l’on étudie le mouvement sinusoïdale d’une onde monodimensionnelle dans un repère orthogonale (x ; y) de centre O, la position en ordonnée de chaque point en fonction du temps est donné par la relation mathématique suivante :

    \[y(x\ ;t)=A\sin(k(x\pm v t)+\phi)\]

  • avec A, l’amplitude de l’onde sinusoïdale en mètres notés m,
  • k, le nombre d’onde, qui est une constante caractéristique de l’onde dépendant de sa longueur d’onde en radians par mètres notés rad/m,
  • v, la célérité de l’onde en mètres par secondes noté m/s,
  • t, le temps en secondes notés s,
  • et ϕ, la constante de phase en radians notés rad. Elle correspond à la position de l’onde quand x et t sont nuls, soit au départ du mouvement. Si possible, dans un repère bien choisi, le centre du repère est placé au démarrage de l’onde et donc ϕ est nul.

Par convention :

  • Si l’onde se déplace dans les sens des x croissants (vers la droite) alors la célérité de l’onde est positive et l’expression est la suivante : 

        \[y(x\ ;t)=A\sin(k(x+ v t)+\phi)\]

  • Si l’onde se déplace dans les sens des x décroissants (vers la droite) alors la célérité de l’onde est positive et l’expression est la suivante : 

        \[y(x\ ;t)=A\sin(k(x+ v t)+\phi)\]

Le nombre d’onde

Le nombre d’onde est un paramètre mathématique servant à convertir la position x d’un point à sa valeur correspondante en radian (de la même manière que pour passer du sinus sur le cercle trigonométrique à l’abscisse sur un repère pour la fonction sinus) :

    \[k = \frac{2\pi}{\lambda}\]

  • avec k, le nombre d’onde en radians par mètres notés rad/m,
  • 2π, la périodicité temporelle de l’onde, soit un cycle complet de la fonction sinus, en radians notés rad,
  • et λ, la périodicité spatiale de l’onde en mètres notés m.

Le nombre d’onde est caractéristique de l’onde étudiée.

Déphasage entre deux ondes sinusoïdales progressives

Le déphasage initial correspond à la constante de phase ϕ. Graphiquement cela correspond au décalage du point de départ de la fonction sinus.

Qu'est-ce que deux ondes déphasées ? L’onde représentée par la sinusoïde en noir a une constante de phase nulle, tandis que l’onde représentée par la sinusoïde en rouge présente une constante de phase égale à d.

Deux ondes sinusoïdales peuvent être strictement identiques mais en décalage de phase. Elles seront caractérisées par la même fonction d’onde sinusoïdale à ϕ près.

Si deux ondes parcourent le même milieu simultanément, les amplitudes de deux ondes sonores de même nature se superposent, ainsi :

  • Deux ondes identiques et de même nature non déphasées (ou avec un déphasage multiple de 2π) vont avoir une amplitude doublée car seront maximales au même moment.
  • Deux ondes identiques et de même nature en opposition de phase (décalée d’un multiple de π) vont s’annuler car l’une sera maximale quand l’autre minimale. C’est ce principe qui est utilisé pour les casques anti-bruit avec réduction active.

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Bekkouche
Invité

Expliquer mieux n’est pas possible ! Merci !

AIT-ABDELLAH-OU-ALI
Invité

de meme