Les ondes progressives périodiques sinusoïdales

Les ondes progressives périodiques

Une onde progressive correspond à la propagation dans l'espace et au cours du temps d'une perturbation.

Une onde progressive est dite périodique si la perturbation qui la caractérise se répète à intervalles de temps réguliers, appelés périodes et notés T.

Une onde ne peut être périodique que si sa source est elle-même périodique.

Comme tous les phénomènes périodiques, une telle onde est aussi caractérisée par sa fréquence f qui peut être calculée à partir de la relation suivante :   

    \[f=\frac{1}{T}\]

  • avec T en seconde (s)
  • f en Hertz ( Hz )

La fréquence caractérise la périodicité temporelle de l'onde. 

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Dimension de propagation

Les ondes progressives périodiques peuvent se propager dans différentes direction de l'espace :

  • Les ondes transversales se "déplacent" perpendiculairement par rapport à la direction de propagation. C'est le cas pour un goutte à goutte régulier à la surface de l'eau.
  • Les ondes longitudinales se "déplacent" dans la même direction que celle de propagation. C'est le cas pour les ondes sonores et lumineuses.

Points en phase d'une onde progressive périodique

Si deux points de l'espace subissent des perturbations qui ont même valeur et varient dans le même sens alors ils sont dit en phase.

Exemple : dans le cas d'une onde périodique à une dimension qui se propage le long d'une corde, deux points sont en phase si l'élongation de la corde est la même avec une variation dans le même sens (les deux s'abaissent ou s'élèvent).

Que sont les points en phase sur une corde qui ondule ? Schéma représentant une corde oscillant périodiquement.

Sur la corde ci-contre :

  • Les points A et D sont en phase
  • Les points B et E sont en phase
  • Les points C et F sont en phase

Surface d'onde

La surface d'onde correspond à la surface formée par tous les points en phase, dans le milieu de propagation.

  • Si les surfaces d'ondes observées sont des lignes droites, l'onde est dite rectiligne. Ce phénomène est observable en cas d'une perturbation régulière issue d'une lame à la surface de l'eau par exemple.
  • Si les surfaces d'ondes observées forment des cercles successifs, l'onde est dite circulaire. C'est le cas de la perturbation dû à un goutte à goutte sur une surface d'eau.
  • Si la déformation a lieu dans un milieu tridimensionnel et que les surfaces d'ondes représentent des sphères successives, alors l'onde est dite sphérique. C'est le cas des ondes sonores, lorsque que l’émetteur peut être considéré comme une source ponctuelle dans le milieu étudié.

Les ondes progressives périodiques sinusoïdales

Une onde progressive est dite sinusoïdale si les variations de la perturbation se font en suivant la fonction mathématiques sinus.

On peut identifier ce type de fonction à partir du graphe comportant une alternance de "vagues" positives et négatives de mêmes amplitudes.

onde progressive périodique sinusoïdale

Exemple de représentation de la grandeur physique liée à une onde progressive périodique sinusoïdale

Une onde progressive sinusoïdale possède, en plus d'une périodicité temporelle, une périodicité spatiale (répétition de la déformation).

Si la périodicité temporelle est, nous l'avons vu, définie par la fréquence, la périodicité spatiale est, quant à elle définie, par la longueur d'onde.

La longueur d'onde d'une onde progressive périodique

Une onde progressive périodique est également caractérisée par une longueur d'onde. Celle-ci peut être définie deux manières :

  • Il s'agit de la distance qui sépare deux points en phase consécutifs.
  • Il s'agit également de la distance sur laquelle se propage une perturbation pendant une durée correspondant à une période. Comme pour les ondes électromagnétiques la longueur d'onde se note avec la lettre grecque λ et peut être calculée avec les relations suivantes : 

        \[\lambda=v\times T=\frac{v}{f}\]

    • avec  λ en mètre (m)
    • v (célérité de l'onde) en mètre par seconde (m.s-1)
    • T en seconde (s)
    • f  en hertz (Hz)

Célérité d'une onde progressive sinusoïdale

La célérité d'une onde progressive sinusoïdale est fonction des périodicités temporelle et spatiale. Elle correspond au temps nécessaire à un point pour parcourir la distance entre deux surfaces d'onde identiques (à l'amplitude maximale par exemple).

Il est préférable de parler de célérité plutôt que de vitesse, car il n'y a pas nécessairement de déplacement de matière dans le cas de l'onde progressive. La vitesse est plutôt utilisée dans le cas de déplacement d'un mobile par exemple.

La célérité d'une onde périodique sinusoïdale est constante dans le temps dans un milieu donné. Elle ne dépend pas de l'amplitude de l'onde. Par contre, elle est très dépendante du milieu de propagation.

Prenons l'exemple du ruban de gymnastique rythmique et sportive, que l'on assimilera à une corde. Admettons que la gymnaste imprime un mouvement sinusoïdal, la célérité de propagation de la déformation dépendra du diamètre du ruban, de son élasticité et de  sa densité donc du matériau qui le constitue. Pour un même mouvement l'impression visuelle sera grandement changée.

Le tableau suivant résume les conséquences sur la célérité d'une onde (même perturbation initiale) suivant le type de ruban (corde) :

RubanRuban 1
Ruban 2
Ruban 3
Ruban 4
Ruban 5
Rayon rr2rrrr
Densité dddd/2dd/2
Elasticité EEEEE/8
(8 fois plus élastique)
E/4
(4 fois plus élastique)
Célérité (m/s)cc/22cc/4c

Pour la gymnaste, le choix du matériau est primordial, car pour obtenir le même effet, elle devra imprimer un mouvement plus ou moins important et/ou rapide au départ suivant la nature du ruban.

Ainsi, l'on remarque que moins le ruban est dense, plus le mouvement se propage rapidement. Par contre, plus le ruban est épais ou élastique moins le mouvement se propage rapidement. Ceci se comprend aisément, car d'une part, plus la corde est lourde plus il est difficile à déformer, et d'autre part, plus elle est élastique plus elle aura une déformation qui "absorbera" l'énergie  d'oscillation apporteée par la source de l'onde.

A noter qu'en jouant sur plusieurs paramètres, il est possible d'obtenir une célérité identique avec une même impulsion initiale sur deux rubans de caractéristiques différentes.

Expression mathématique de l'onde sinusoïdale

Une onde périodique sinusoïdale, nous l'avons dit, suit une loi mathématique : la fonction sinus.

Cette propriété permet de pouvoir connaitre les caractéristiques de l'onde au cours du temps et en fonction de l'espace.

Si l'on étudie le mouvement sinusoïdale d'une onde monodimensionnelle dans un repère orthogonale (x ; y) de centre O, la position en ordonnée de chaque point en fonction du temps est donné par la relation mathématique suivante :

    \[y(x\ ;t)=A\sin(k(x\pm v t)+\phi)\]

  • avec A, l'amplitude de l'onde sinusoïdale en mètres notés m,
  • k, le nombre d'onde, qui est une constante caractéristique de l'onde dépendant de sa longueur d'onde en radians par mètres notés rad/m,
  • v, la célérité de l'onde en mètres par secondes noté m/s,
  • t, le temps en secondes notés s,
  • et ϕ, la constante de phase en radians notés rad. Elle correspond à la position de l'onde quand x et t sont nuls, soit au départ du mouvement. Si possible, dans un repère bien choisi, le centre du repère est placé au démarrage de l'onde et donc ϕ est nul.

Par convention :

  • Si l'onde se déplace dans les sens des x croissants (vers la droite) alors la célérité de l'onde est positive et l'expression est la suivante : 

        \[y(x\ ;t)=A\sin(k(x+ v t)+\phi)\]

  • Si l'onde se déplace dans les sens des x décroissants (vers la droite) alors la célérité de l'onde est positive et l'expression est la suivante : 

        \[y(x\ ;t)=A\sin(k(x+ v t)+\phi)\]

Le nombre d'onde

Le nombre d'onde est un paramètre mathématique servant à convertir la position x d'un point à sa valeur correspondante en radian (de la même manière que pour passer du sinus sur le cercle trigonométrique à l'abscisse sur un repère pour la fonction sinus) :

    \[k = \frac{2\pi}{\lambda}\]

  • avec k, le nombre d'onde en radians par mètres notés rad/m,
  • 2π, la périodicité temporelle de l'onde, soit un cycle complet de la fonction sinus, en radians notés rad,
  • et λ, la périodicité spatiale de l'onde en mètres notés m.

Le nombre d'onde est caractéristique de l'onde étudiée.

Déphasage entre deux ondes sinusoïdales progressives

Le déphasage initial correspond à la constante de phase ϕ. Graphiquement cela correspond au décalage du point de départ de la fonction sinus.

Qu'est-ce que deux ondes déphasées ? L'onde représentée par la sinusoïde en noir a une constante de phase nulle, tandis que l'onde représentée par la sinusoïde en rouge présente une constante de phase égale à d.

Deux ondes sinusoïdales peuvent être strictement identiques mais en décalage de phase. Elles seront caractérisées par la même fonction d'onde sinusoïdale à ϕ près.

Si deux ondes parcourent le même milieu simultanément, les amplitudes de deux ondes sonores de même nature se superposent, ainsi :

  • Deux ondes identiques et de même nature non déphasées (ou avec un déphasage multiple de 2π) vont avoir une amplitude doublée car seront maximales au même moment.
  • Deux ondes identiques et de même nature en opposition de phase (décalée d'un multiple de π) vont s'annuler car l'une sera maximale quand l'autre minimale. C'est ce principe qui est utilisé pour les casques anti-bruit avec réduction active.

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Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).

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Bekkouche
Bekkouche
Invité
1 Sep.

Expliquer mieux n’est pas possible ! Merci !

AIT-ABDELLAH-OU-ALI
AIT-ABDELLAH-OU-ALI
Invité
3 Oct.

de meme

Alain
Alain
Invité
3 Août.

Bonjour,
Si j’ai bien compris, si l’on considère 2 sources sonores au même endroit (une fixe et l’autre en mouvement), on peut affirmer que la vitesse du son est constante dans l’air quelque soit la vitesse de la source (en supposant bien sûr un milieu identique ,au repos,à température à pression et hygrométrie constante).Donc comme la lumière dans le vide.
Par avance,Merci

Joy
Joy
Éditeur
6 Août.

Bonjour,
En effet, si les ondes sonores se propagent dans un milieu identique, alors leur vitesse de propagation est identique.

Diakité
Diakité
Invité
25 Sep.

Comment déterminer le sens de propagation à partir de l’équation ?

Thomas
Thomas
Éditeur
25 Sep.

On l’établit uniquement à partir des équations que les vibrations de la corde dépendent à la fois de l’espace et du temps.

ANTOINE
ANTOINE
Invité
27 Déc.

Bonjour. Merci pour ce cours. ¨Par contre, certaines formules ne s’affichent pas correctement

Thomas
Thomas
Éditeur
24 Jan.

Bonjour, merci beaucoup pour votre vigilance !

Bonne journée !

Klauber
Klauber
Invité
24 Fév.

Bonjour, j ai un calcul a faire or aucune valeur n’est mentionné : N(I) = 10log (I/Io) il est expliqué que Io est l’intensité de référence qui correspond a l’intensité la plus faible pour un son de f=1000Hz.

On me demande de calculer Io
Comment faire svp

Thomas
Thomas
Éditeur
25 Juin.
Stephanie
Stephanie
Invité
4 Mar.

Bonjour
Quel programme avez-vous utiliser pour observer ces différents spectres ?

Thomas
Thomas
Éditeur
5 Mar.

Bonjour ! Pour observer ces spectres, on peut utiliser la méthode dite de la décomposition de la lumière, qui s’applique très bien ici.
Bonne journée !

flo
flo
Invité
10 Mar.

Bonjour,
Merci pour ces explications bien claires.
Cependant,je ne comprends pas le schéma « Atténuation de l’intensité sonore avec la distance à l’émetteur » car sur le schéma, on voit que le niveau d’intensité sonore baisse de 80 à 77 puis à 74 dB soit une baisse de 3 dB lorsque la distance double alors que cela devrait baisser de 6 db?
Merci de votre réponse

Thomas
Thomas
Éditeur
12 Mar.

Bonjour ! Êtes-vous bien sûr de parler du bon article ? Bonne journée !

Elanrif Abdallah
Elanrif Abdallah
Invité
16 Avr.

Bonjour je trouve le cours très intéressant et complet mais j’ai une question. La périodicité correspond vraiment a quoi ?

Thomas
Thomas
Éditeur
2 Juin.

Bonjour, à un entrecoupage !
Bonne journée !