Condition pour qu'un mouvement rectiligne soit uniformément varié

De la même manière qu'un mouvement rectiligne uniforme, un mouvement rectiligne uniformément varié présente une trajectoire suivant une droite. Cependant, dans ce cas la vitesse n'est plus constante au cours du temps. Par contre la variation de sa vitesse est uniforme dans le temps.

Un mouvement rectiligne est uniformément varié si son vecteur accélération est constant en valeur en direction et en sens.  

    \[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{constante}\]

Caractéristiques du vecteur accélération pour un mouvement rectiligne uniformément varié

Le vecteur accélération est caractérisé par :

  • sa norme constante et égale à l'accélération initiale à l'origine du mouvement :  a=ao
  • sa direction correspondant à celle du mouvement,
  • son sens : si c'est le même que celui du mouvement (a>0) on parle de mouvement uniformément accéléré. S'il est opposé à celui du mouvement (a<0) on parle de mouvement uniformément ralenti.

Qu'elle est la courbe de l'accélération en fonction du temps pour un mouvement rectiligne uniformément varié ? Droite de l'accélération en fonction du temps pour un mouvement rectiligne uniformément varié

A noter que l'accélération peu également s'exprimer de la manière suivante :

  • l'accélération est la dérivée de la vitesse v en fonction du temps ce qui se traduit graphiquement par la relation suivante :

        \[a_{x}= \frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}\]

Vitesse d'un point en mouvement uniformément varié

Connaissant les caractéristiques du mouvement, il est alors possible de connaitre les coordonnées du vecteur vitesse dans le plan. Puisque le mouvement s'effectue selon une droite on peut choisir un repère dans lequel cette dernière coïncide avec l'axe des abscisses, ainsi le vecteur vitesse n'aura qu'un abscisse.

Puisque l'accélération correspond à la dérivée de la vitesse par rapport au temps, alors la vitesse est une primitive de l'accélération. L'accélération étant constante (a = a0) sa primitive est de la forme : 

    \[v=a_{0}.t+A\]

avec A une constante.

Déterminons alors la valeur de A :

à t=0 nous avons v=v0, donc

    \[v_{0}=a_{0}\times0+A\]

 d'où

    \[A = v_{0}\]

La constante A correspond donc à la vitesse initiale du point M à l'origine du mouvement.

La vitesse d'un point en mouvement uniformément accéléré est donc une fonction affine du temps de forme: 

    \[v=a_{0}.t+v_{0}\]

  • où a0 et l'accélération à t=0
  • vo est la vitesse à t=0 

Quel est le graphique représentant la vitesse en fonction du temps pour un mouvement rectiligne uniformément varié ? Evolution de la vitesse au cours du temps dans le cadre d'un mouvement accéléré ou décéléré.

Remarques :

  • Si la vitesse est nulle à t=0 alors la vitesse est une fonction linéaire du temps
  • Si le mouvement est uniformément accéléré (a0>0) alors la vitesse est croissante au cours du temps.
  • Si le mouvement est uniformément ralenti (a0<0) alors la vitesse est décroissante au cours du temps

Position d'un point en mouvement uniformément varié

Connaissant maintenant les coordonnées du vecteur vitesse dans le plan, il est alors possible de déterminer celle du vecteur position en fonction du temps.

Puisque la vitesse est une dérivée de la position par rapport au temps, alors la position est une primitive de la vitesse. Sa primitive est de la forme : 

    \[x=\frac{1}{2}.a_{0}.t^{2}+v_{0}.t+B\]

avec B une constante.

Il faut maintenant déterminer la constante B :

à t=0 nous avons x=x0, donc

    \[x_{0}=a_{0}\times 0^{2}+v_{0}\times0 + B\]

 d'où

    \[B = x_{0}\]

L'abscisse d'un point en mouvement uniformément accéléré est donc une fonction parabolique du temps de la forme: 

    \[x=\frac{1}{2}.a_{0}.t^{2}+v_{0}.t+x_{0}\]

  • avec ao accélération initiale à t=0
  • vo vitesse initiale à t=0
  • x0 abscisse initiale à t=0


Quel est le graphique de l'abscisse d'un point en fonction du temps lors d'un mouvement rectiligne uniformément varié ? Evolution de l'accélération en fonction du temps dans le cadre d'un mouvement accéléré (à droite) et d'un mouvement ralenti (à gauche).

Remarques :

  • Si le déplacement est orientée dans le même sens que l'axe des abscisses alors l'abscisse du point M en fonction du temps est une fonction croissante.
  • Si le déplacement est orientée dans le sens inverse de l'axe des abscisses alors l'abscisse du point M en fonction du temps est une fonction décroissante.

Résolution de problème en utilisant le mouvement rectiligne uniformément varié

Reprenons nos deux métros en mouvement rectiligne circulants en sens opposés entre les stations Louvres-Rivoli et Châtelet-les-halles séparées de 1 km.

On supposera que les rails du métro sont en ligne droite entre les deux stations.

Le métro 1 qui effectue le trajet dans le sens Louvres-Rivoli vers Châtelet est bondé et roule dans un mouvement décéléré uniforme de 15 km/h pour s'arrêter à châtelet 6 minutes plus tard.

Le métro 2 effectuant le trajet dans l'autre sens est vide et ne prends pas de voyageur, roule avec un mouvement uniformément accéléré de 0 à 35 km/h et atteint la station Louvres-Rivoli en 3,2 minutes.

A quelle distance de la station Louvres-Rivoli les trains vont-ils se croiser ?

De la même manière que pour le problème du mouvement rectiligne uniforme, nous allons utiliser les équations des positions en fonction du temps présentées ci-dessus :

  • Appelons M1 le métro 1 d'abscisse x1 et M2 le méro 2 d'abscisse x2.
  • Les équations des positions de M1 et M2 sont les suivantes : 

        \[x_{1}= 0,5. a_{01}.t^{2}+v_{01}.t + x_{01}\]

     

        \[x_{2}=- 0,5. a_{02}.t^{2}-v_{02}.t + x_{02}\]

    car M2 circule en sens opposé à l'axe des abscisses.

  • Les métro se croiseront pour x1= x2
  • On obtient donc une équation avec cinq inconnus : t, a01, a02, x01 et x02. Cependant nous pouvons exprimer x02 en fonction de x01 car nous les savons distants de 1000 m : 

        \[x_{02}=x_{01}+1000\]

    Nous choisissons x01 égale à 0 car c'est notre point de référence du mouvement.

  • Nous pouvons calculer a01 :
    • la vitesse initiale est de 15 km/h soit 4.2 m.s-2
    •     \[a_{01}=\frac{4,2-0}{0-360}=-0.012\ m.s^{-2}\]

       

  • Nous pouvons calculer a02 :
    • la vitesse finale est de 35 km/h soit 9.7 m.s-2
    •     \[a_{02}=\frac{0-9.7}{0-180}=0.054\ m.s^{-2}\]

  • On obtient donc l'équation suivante : 

        \[-\frac{1}{2}.0,012.t^{2}+4,2.t=-\frac{1}{2}.0,054.t^{2}+0.t+1000 \]

    car x2 est dans le sens opposé au mouvement. Ceci donne l'équation du second degré suivante :

        \[0,021.t^{2}+4,2.t-1000=0 \]

    Cette équation a deux solutions mais une seule positive (un temps ne peut être négatif)  d'où

        \[t=140\ s\]

    .

  • Les deux métros se croisent au bout de 140 s soit 2.3 min.
  • Pour répondre à la question initiale, il suffit maintenant de connaitre x1 (ou x2 puisqu'ils sont identiques) : 

        \[x_{1}=-\frac{1}{2}.0,012\times140^{2}+4,2\times140\]

        \[x_{1}=470\ m\]

Les deux métros se croisent à 470 m de la station Louvres-Rivoli.

Forces de frottement

Lorsqu'un corps effectue un mouvement, il y a toujours des forces de frottement qui s'oppose à la vitesse et l'accélération (résistance de l'air, frictions sur la route ou les rails).

Ses forces de frottement augmentent avec l'accélération. Par exemple, plus une voiture va vite plus la résistance de l'air s'oppose au mouvement, plus il faut fournir de l'énergie pour maintenir une accélération constante.

Lors de résolution d'exercice les force de frottement sont souvent négligées car difficiles à appréhender.

Cas particulier de la chute libre

Chute libre sans vitesse initiale

L'accélération

La chute libre est un excellent exemple de mouvement rectiligne uniformément accéléré. En effet, chaque objet sur terre, est soumis à la force d'attraction gravitationnelle.

Un objet en chute libre est soumis, quelle que soit sa masse, à une accélération de pesanteur que l'on peut considérer constante au voisinage de la Terre.

En négligeant les forces de frottement, cette accélération est de direction verticale, orientée vers le bas et sa norme, appelée g est exprimée de la manière suivante : 

    \[a=-g=-9.81\ m.s^{-2}\]

avec g la force gravitationnelle.

La vitesse

Nous avons démontré que la vitesse d'un mouvement rectiligne uniforme est de la forme : 

    \[v=a_{0}.t+v_{0}\]

d'où dans le cas d'une chute libre sans vitesse initiale, nous obtenons : 

    \[v=-g.t\]

car vest nulle.

La position

Nous avons également l'expression de l'abscisse au cours du temps de la forme :

    \[x=\frac{1}{2}.a_{0}.t^{2}+v_{0}.t+x_{0}\]

d'où dans le cas d'une chute libre sans vitesse initiale, nous obtenons : 

    \[z=-\frac{1}{2}.g}.t^{2}+z_{0}\]

car vest nulle et que le mouvement s'effectue le long de l'axe des ordonnées et non plus des abscisses.

A noter que z peut aussi être appelé h (hauteur).

Paradoxe de la chute libre

Un caillou et une pierre de taille et de masses différentes lâchés en même temps sans vitesse initiale à 10 m de hauteur, frapperont le sol au même moment.

En effet, en réalité les forces de frottement ne sont pas négligeables. Si la pierre, plus grosse et plus lourde devrait avoir une accélération plus importante, sa résistance à l'air est également bien supérieure à celle du cailloux. Ces deux forces se compensant, la pierre et le cailloux ont la même vitesse.

L'exemple du BASE jump

Le BASE jump est une pratique de parachutisme qui consiste à sauter du haut d'une plateforme (parfois d'un pont ou d'une falaise) allant d'environ 50 à 1500 m, et de profiter de la chute libre la plus longue possible avant d'ouvrir son parachute.

Les BASE jumpers peuvent effectuer une chute libre au mouvement uniformément accéléré jusqu'à atteindre une vitesse maximale de 200 km/h (la résistance de l'air compense alors complètement l'accélération). Il a plusieurs morts chaque année lors de cette pratique, notamment en raison de mauvais calculs quant au moment d'ouverture du parachute.

Voici dans le tableau suivant quelques exemple de temps de chute en BASE jump en fonction de la hauteur de départ :

Hauteur de saut (m)50
100150200
Durée minimale de la chute (sans parachute) (s)3,24,55,56,4
Vitesse maximal atteinte (m/s)
Vitesse max 55.6 m/s
31,344,354,355,6

La vitesse maximal est atteinte après un peu plus de 150 m de chute libre.

On remarque aussi que les temps de chute sont très court, c'est pourquoi il ne faut surtout pas ouvrir le parachute trop tard, sinon c'est l'accident assuré !

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Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir.
Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).

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