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Les ondes et champs électriques en classe préparatoire aux grandes écoles

Par Joy le 11/01/2019 Ressources > Physique-Chimie > programme officiel > CPGE 2 PC > Programme Officiel de PC : Électromagnétisme

Le bloc 4 présente les équations de Maxwell en régime dépendant du temps. La notion de potentiel-vecteur est hors-programme mais on insiste sur le fait que le champ électrique ne dérive pas en général d’un potentiel scalaire. L’étude détaillée des ondes électromagnétiques qui prolonge ce bloc est placée dans la partie Physique des ondes. On ne mentionne ici les phénomènes de propagation que pour les négliger dans le cadre des régimes lentement variables. Le cadre adopté est celui de l’ARQS « magnétique » où les effets des distributions de courants dominent ceux des distributions de charges.

Comment se préparer pour un oral ? Si vous souhaitez approfondir vos connaissances ou vérifier certaines données, n’hésitez pas à croiser les sources et à vous rendre dans les bibliothèques afin de trouver des livres qui vous permettront d’approfondir vos connaissances. Cela sera un atout indéniable pour les oraux d’admission.

Notion maîtresse

Équations de Maxwell

Notion 1

Postulats de l’électromagnétisme

Sous-notions associées

  • Force de Lorentz.
  • Équations locales de Maxwell.
  • Formes intégrales.
  • Compatibilité avec les cas particuliers de l’électrostatique et de la magnétostatique; compatibilité avec la conservation de la charge.
  • Linéarité.

Capacités exigibles

  • Utiliser les équations de Maxwell sous forme locale ou intégrale. Faire le lien entre l’équation de Maxwell-Faraday et la loi de Faraday étudiée en PCSI.

Attention : la circulation du champ électrique n’est pas conservative dans le cas général donc le champ électrique n’est plus lié à un potentiel scalaire par E=-gradV.

  • Utiliser une méthode de superposition.

Notion 2

Aspects énergétiques

Sous-notions associées

  • Vecteur de Poynting.
  • Densité volumique d’énergie électromagnétique.
  • Équation locale de Poynting.

Comment fonctionne un circuit RLC ? Les condensateurs sont des objets pour lesquels il est possible de choisir la densité d’énergie en fonction des matériaux que l’on utilise pour leur fabrication.
C’est pour cela qu’ils sont très fréquemment utilisés dans les circuits.

Capacités exigibles

  • Utiliser les grandeurs énergétiques pour faire des bilans d’énergie électromagnétique.
  • Associer le vecteur de Poynting et l’intensité utilisée en optique.

Notion 3

Validation de l’approximation des régimes quasi-stationnaires « magnétique »

Sous-notions associées

  • Équations de propagation des champs E et B dans le vide.
  • Caractère non instantané des interactions électromagnétiques.
  • Relation ε0μ0c2=1.
  • ARQS « magnétique »

Capacités exigibles

  • Établir les équations de propagation.
  • Interpréter c
  • Discuter la légitimité du régime quasi- stationnaire.
  • Simplifier les équations de Maxwell et l’équation de conservation de la charge et utiliser les formes simplifiées.
  • Étendre le domaine de validité des expressions des champs magnétiques obtenues en régime stationnaire.

Comment réussir son concours ? Si vous présentez des doutes concernant la compréhension des notions explicitées ci-dessus, il ne faut pas hésiter à faire appel à vos professeurs à la fin des cours afin de lui demander des renseignements, des précisions ou des exercices supplémentaires afin de vous exercer.

La force de Lorenz

Pour en savoir plus sur les forces de Lorenz, il est nécessaire de se pencher sur les différents type de champ existant au sein desquels s’exerce cette force.

Champ électrique

En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d’une particule chargée, les propriétés locale de l’espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu’on appelle l’action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu’il est le médiateur de la dite action à distance.

Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu’elles soient fixes ou mobiles, une force qu’on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

  •     \[ \overrightarrow { E } \]

    le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

  •     \[ \overrightarrow { B } \]

    le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d’étude.

Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l’action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu’elles soient mobiles ou fixes.

Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l’espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.

On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d’étude, les charges sont fixes. Notons d’ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu’en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d’obtenir un champ électrique complet.

Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu’il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d’un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d’un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d’un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.

Le champ électromagnétique

En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l’espace d’une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l’ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s’appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.

On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l’expression suivante :

    \[ \overrightarrow { f } = q \left ( \overrightarrow { E } + \overrightarrow { v } \wedge \overrightarrow { B } \right) \]

avec :

    \[ \overrightarrow { E } \]

le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge

    \[ \overrightarrow { B } \]

le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.

En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d’étude.

De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c’est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d’une composante induira la variation de l’autre composante.

D’ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l’électrodynamique quantique.

La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.

Le champ électrostatique

On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d’étude. Ce champ est donc déduit de l’expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.

Le champ gravitationnel

En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l’espace et dû à la présence d’une masse qui est alors susceptible d’exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non.

On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d’un potentiel scalaire dit newtonien.

En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l’espace et dû à la présence d’une masse susceptible d’exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L’introduction de cette grandeur permet de s’affranchir du problème de la médiation de l’action à distance apparaissant dans l’expression de la force de gravitation universelle.

On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l’espace-temps. L’approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu’ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable.

On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l’expression du champ et du potentiel ne sont différents que d’une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s’appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu’attractif.

Le principe de superposition

Il est possible d’appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :

  • La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
  • Un multiple d’une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.

Dans ce cas, c’est-à-dire celui d’un système physique, on peut appeler l’entrée excitation et la sortie réponse.

On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :

  • Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
  • Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .

ARQS “Magnétique”

Propagation du champ électromagnétique dans le vide

Équation de propagation

Les champs électrique et magnétique vérifient l’équation de d’Alembert.

Vitesse de propagation

La vitesse de propagation du champ électromagnétique dans le vide s’identifie avec la vitesse de la lumière dans le vide.

En quoi consiste l’approximation ?

L’ ARQS consiste à négliger la propagation des champs électromagnétiques, plus précisément à négliger le retard de propagation entre la source et le point d’observation.

En régime sinusoïdal, le retard de propagation doit être très inférieur à la période de variation (temporelle) des sources. L’approximation revient à ce que la distance source – point d’observation soit très inférieure à la longueur d’onde.

En régime quelconque, la condition devient : retard de propagation c’est à dire dimension de l’espace d’étude divisée par c, négligeable devant le temps caractéristique de variation des sources.

Lien avec l’ARQS de l’électrocinétique

Simplification des équations de maxwell

L’ARQS consiste à faire un développement à l’ordre 1 en 1/c ce qui permet de supprimer le terme en 1/c2 de l’équation de Maxwell-Ampère.

Les deux champs électrique et magnétique existent et sont encore couplés.

Mais la détermination du champ magnétique à partir des courants est identique au cas de la magnétostatique car l’approximation revient à négliger le terme de courant de déplacement.

Attention : le champ électrique ne se calcule pas comme le champ électrostatique : les variations temporelles de champ magnétique sont sources de champ électrique : phénomène d’induction.

Simplification de l’équation de conservation de la charge

L’équation est similaire à celle du régime stationnaire.

Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d’un fil.

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