Présentation

Le programme de physique des ondes de PC s’inscrit dans le prolongement de la partie « signaux physiques » du programme de PCSI où des propriétés unificatrices (diffraction, interférences, battements…) ont été abordées en s’appuyant sur une approche expérimentale et sans référence à une équation d’onde. Il s’agit désormais de mettre en place l’équation d’onde de D’Alembert en électromagnétisme et en acoustique, puis d’envisager des modèles de sources d’ondes rayonnées dans l’espace. On aborde ensuite l’étude de la dispersion, de l’atténuation et de l’absorption associées à des phénomènes de propagation régis par des équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants. La propagation d’ondes dans des milieux différents conduit naturellement à étudier la réflexion et la transmission d’ondes à une interface. L’étude de la physique des ondes s’achève par une introduction à l’approche ondulatoire de la mécanique quantique et par une introduction à la physique du laser.

Objectifs généraux de formation

L’étude de la physique des ondes doit conduire les étudiants à développer, entre autres, les compétences suivantes :

– mettre en évidence les analogies existant entre des phénomènes relevant de domaines de la physique très différents, mais dont le comportement est régi par les mêmes équations aux dérivées partielles ;

– utiliser les ondes planes monochromatiques comme outil privilégié de résolution d’une équation d’onde linéaire, et caractériser celle-ci par une relation de dispersion ;

– choisir de manière pertinente entre des ondes stationnaires (c’est-à-dire dont les variations spatiale et temporelle sont factorisées en représentation réelle) et des ondes progressives ;

– associer les modes propres d’un système confiné à des ondes stationnaires dont les pulsations sont quantifiées ;

– utiliser l’analyse de Fourier et la superposition pour faire le lien entre une solution physique réelle spatialement et temporellement limitée, et des solutions mathématiques élémentaires non réalistes ;

– utiliser des conditions initiales et/ou des conditions aux limites connues pour déterminer la solution d’une équation d’ondes par superposition ;

– linéariser des équations à partir de la manipulation d’ordres de grandeur pertinents associés au phénomène étudié ;

– identifier les principaux types de comportements ondulatoires associés aux domaines asymptotiques d’une relation de dispersion simple (propagation sans déformation, dispersion, absorption, atténuation) ;

– identifier les limites d’une approche classique particulaire au niveau microscopique et la richesse prévisionnelle d’un modèle ondulatoire : confronter les effets quantiques et les prédictions classiques en s’appuyant, entre autres, sur des estimations numériques.

Le bloc 1 est consacré à l’étude de phénomènes ondulatoires non dispersifs régis par l’équation d’onde de d’Alembert. Le choix a été fait ici de privilégier les solutions harmoniques dans la résolution pour leur universalité comme solutions adaptées aux équations d’ondes linéaires. Les solutions générales f(x-ct) et g(x+ct) apparaissent ici comme un cas particulier que l’on retrouve par superposition. La méthode de séparation des variables n’est donc pas exigible sur cette partie. S’agissant de la modélisation microscopique des solides, l’objectif est principalement d’établir la loi de Hooke qui sera ensuite utilisée pour mettre en équations les ondes longitudinales dans l’approximation du solide continu. Dans le cadre de la physique des ondes, on qualifiera de plane ou sphérique une onde par référence à sa dépendance spatiale f(x,t) ou f(r,t).

Le bloc 2 est consacré aux phénomènes de propagation régis par des équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants. L’étude est menée sur des ondes harmoniques planes en représentation complexe (bloc 2.1) puis sur des paquets d’ondes harmoniques planes (bloc 2.2). S’agissant des paquets d’ondes, on se limite au cas où l’étalement est négligeable. On s’appuie soit sur les plasmas localement neutres soit sur les milieux ohmiques. On admet que les DLHI relèvent d’un traitement analogue faisant apparaître l’indice complexe, mais aucune modélisation du comportement des DLHI ne figure au programme. On se limite dans tous les cas à des milieux non magnétiques.

Le bloc 3 est consacré à la réflexion et la transmission d’ondes à une interface plane sous incidence normale en acoustique et en électromagnétisme. Dans ce dernier cas, on se limite ici aussi aux milieux non magnétiques. La notion de densité de courants superficiels et les relations de passage du champ électromagnétique ne figurent pas au programme. La notion de conducteur parfait ne figure pas au programme, les conditions aux limites sur la composante normale du champ électrique et la composante tangentielle du champ magnétique doivent être fournies si nécessaire dans un problème.

Le bloc 4 est consacré à une introduction à la physique du laser. Après une approche descriptive des milieux amplificateurs de lumière (4.1), une description de l’oscillateur optique que constitue le laser est effectuée (4.2) à partir de la mise en œuvre expérimentale d’un oscillateur électronique : il s’agît ici de transférer les idées abordées sur l’exemple de l’oscillateur à pont de Wien à la modélisation de l’objet optique en identifiant les points clés de l’analogie. Le bloc 4.3 est une introduction descriptive simplifiée à l’optique des faisceaux spatialement limités, dont l’un des objectifs est de pouvoir déterminer la puissance surfacique disponible, à partir de la prévision des dimensions de la tache de section minimale dans des configurations optiques élémentaires. On se limite au mode fondamental gaussien.

Les blocs précédents ont permis d’introduire les outils et concepts de base associés à la physique des ondes, particulièrement tant qu’elle est régie par des équations d’onde linéaires. S’il est un domaine où cette notion de linéarité joue un rôle central, c’est bien celui de la mécanique quantique. Le bloc 5 présente quelques unes des notions associées à une description ondulatoire de ce domaine. La démarche adoptée, volontairement limitée, est centrée sur les conséquences approfondies des notions introduites en première année que sont la dualité onde-corpuscule et l’inégalité de Heisenberg spatiale, les objectifs étant désormais quantitatifs. Il s’agit, sur des systèmes unidimensionnels et des situations physiques simplifiées d’envisager quelques conséquences qui découlent de cette description ondulatoire : l’effet tunnel et ses applications sont ainsi discutés comme aboutissement naturel des notions abordées dans ce bloc. Cette partie est ancrée dans le réel : on insistera sur le fait que les situations envisagées décrivent des systèmes physiques réels effectivement unidimensionnels ; d’autre part l’étude documentaire de la microscopie à effet tunnel montre qu’on peut accéder effectivement à la mesure d’une fonction d’onde.

Toute discussion autour de la mesure et de ses effets sur un système est exclue, de même que toute introduction au spin. L’accent est mis avant tout sur la mise en équation des situations physiques proposées à l’aide des outils de la physique des ondes, et la discussion graphique des résultats qui en découlent. Tout développement des calculs intermédiaires est donc naturellement proscrit et les expressions sur lesquelles s’appuient les discussions qualitatives doivent être fournies.

Le courant de probabilité est introduit dans un contexte restreint avec pour seul objectif d’exprimer le coefficient de transmission d’une barrière de potentiel.

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Mathieu

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