« L’essence des mathématiques, c’est la liberté. », Georg Cantor

Pour permettre de traiter un problème irrésolu, des mathématiciens tels que Poincaré, Pythagore, Gödel, Pierre de Fermat ou Dedekind ont découvert au fur et à mesure de l’histoire des mathématiques des théorèmes et formules. Une fois démontrées, ces assertions s’appliquent comme loi scientifique obtenue grâce à l’expérimentation.

Mais à la base de la théorie des nombres, de la théorie des ensembles ou de la théorie, des groupes étaient en premier lieu une conjecture !

En effet, dans un premier temps il faut essayer de prouver la vérité d’une propriété mathématique et ensuite, d’en donner une démonstration. C’est ainsi que les mathématiciens ont pu avérer leurs découvertes et créer des règles.

Toutefois, certaines conjectures restent encore aujourd'hui sans réponses. Des siècles de recherche et l'informatique ni font rien !

Alors prêt à devenir un véritable mathématicien  ? Superprof vous explique tout ce qu’il faut savoir pour conjecturer et vous fait, pour l’occasion, un petit rappel de l’histoire des maths.

Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (86 avis)
Laurent
50€
/h
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (79 avis)
Anis
90€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (96 avis)
Greg
110€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (83 avis)
Grégory
110€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (79 avis)
Ahmed
40€
/h
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (20 avis)
Jean-charles
20€
/h
1er cours offert !
Minh duc
5
5 (49 avis)
Minh duc
100€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (42 avis)
Pierre-thomas
80€
/h
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (86 avis)
Laurent
50€
/h
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (79 avis)
Anis
90€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (96 avis)
Greg
110€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (83 avis)
Grégory
110€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (79 avis)
Ahmed
40€
/h
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (20 avis)
Jean-charles
20€
/h
1er cours offert !
Minh duc
5
5 (49 avis)
Minh duc
100€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (42 avis)
Pierre-thomas
80€
/h
1er cours offert>

Qu’est-ce qu’une conjecture ?

D’après le dictionnaire Larousse, une conjecture est une : « supposition fondée sur des probabilités, mais qui n’est pas contrôlée par les faits ; présomption, hypothèse : on est réduit à des conjectures sur ses motivations. ».

Qu’est-ce que conjecturer ?
En appliquant un programme de calcul à divers exemples, on peut constater rapidement une similarité dans les résultats obtenus. C’est une conjecture ! Il faut ensuite démontrer les conclusions pour trouver une propriété qui s’emploie de manière universelle.

Il donne également une définition plus mathématique : c’est une « hypothèse formulée sur l’exactitude ou l’inexactitude d’un énoncé dont on ne connaît pas encore de démonstration. »

Faire des conjectures revient donc à accepter un énoncé comme vrai, même si on ne connait pas la valeur de vérité, puisqu’il n’a jamais été démontré ou réfuté.

Tous les livres de mathématiques vous expliqueront que pour valider une conjecture vous devez :

  • La démontrer,
  • La compléter,
  • La formuler.

Et ce principe mathématique s’applique dans tous les domaines démontrables, de la géométrie algébrique à la cryptographie en passant par l’algèbre et les algorithmes.

Si vous êtes au collège ou que vous souhaitez vous remettre aux mathématiques, vous pouvez faire appel à un prof particulier de maths. Cette notion mathématique est très importante et il est fondamental de partir sur de bonnes bases pour la maîtriser.

Vous verrez, savoir conjecturer vous servira autant en mathématiques que pour obtenir un bon sens de réflexion. En effet, faire des déductions, voir plus loin que ce que l'on nous propose est essentielle dans la vie quotidienne.

Maintenant que nous avons révisé le cours d’arithmétique, nous vous montrons l’exemple de comment vérifier une conjecture.

Comment démontrer mathématiquement qu’une conjecture est vraie ?

Connaissez-vous le calcul littéral ? Il s’agit d’un calcul purement arithmétique associant nombre et lettres où chaque lettre symbolise un nombre que l’on ne connaît pas.

Il est indispensable pour obtenir des preuves mathématiques car il permet de projeter un exemple fictif sans avoir besoin de le matérialiser avec des chiffres. Idéal pour tenter de découvrir une généralité applicable à tous les cas de figure !

Comment compléter une conjecture ?
La conjecture part souvent d’une intuition. Elle demande de l’observation et de la déduction !

C’est grâce au calcul littéral que vous allez avoir une démonstration de votre conjecture.

Pour la démontrer facilement, il vous suffit de trois exemples. En revanche pour la réfuter, il suffit d’un seul contre-exemple.

Nous vous donnons un exemple concret, car toutes les démonstrations partent d’énoncés.

Voici un exemple connu dont nous allons nous servir pour comprendre la démarche :

«  Choisissez un nombre, enlevez-lui 3. Ensuite, prenez le double et ajoutez 6.  »

Admettons que N=5

5-3=2

2x2=4

4 +6=10

Admettons maintenant que N=7

7-3=4

2x4=8

8 +6=14

Pour le dernier exemple admettons que N=30

30-3=27

2x27=54

54 +6=60

On observe que chaque résultat est le double du nombre de départ. C’est donc notre conjecture.

Maintenant, nous allons démontrer ici la vérité de nos démonstrations précédentes :

2 (N-3) +6

= 2N-6+6

=2N

Notre conjecture est donc confirmée et l’on peut établir une règle mathématique qui stipule que «  Lorsqu’on choisit un nombre, qu’on lui enlève 3, qu’on prend le double et qu’on ajoute 6, alors on obtient le double du nombre de départ  ».

Tous les grands mathématiciens ont dû faire une démonstration du théorème avant de l’avérer. Et ce n’est pas toujours facile à démontrer. Sachez que pour chaque théorème mathématique, il y a des heures, voire des années de travail !

Voici les théorèmes mathématiques les plus connus :

  • Théorème de Gauss,
  • Théorème de Pythagore,
  • Théorème de Fermat,
  • Théorème d’incomplétude,
  • Théorème de Thalès,
  • Théorème de Gödel.

Vous l’aurez compris, la conjecture peut être utilisée comme l’hypothèse d’une démonstration.

Elle n’est pas automatiquement démontrée, mais sert toutefois de base de réflexion et ouvre le champ à d’autres applications.

Nous vous citons quelques exemples emblématiques pour illustrer notre propos.

« La logique est l’hygiène des mathématiques., André Weil

Culture mathématique : quelques célèbres conjectures

Tout commence avec les nombres parfaits d’Euclide. Ces entiers naturels qui sont la somme de leurs diviseurs stricts. Euclide en avait trouvé quatre : 6, 28, 496 et 8128.

Comment formuler une conjecture ?
Certaines conjectures ont été prouvées, d’autres réfutées et certaines sont encore non-résolues et représentent des siècles de recherches !

Aujourd’hui on en compte 51. Mais deux questions restent à ce jour sans réponse.

Existe-t-il une infinité de nombres parfaits pairs ?

Existe-t-il des nombres parfaits impairs?

Mystère, personne ne le sait, pas même le plus grand mathématicien français !

Voici quelques célèbres conjectures dans l’histoire des maths.

La conjecture de Goldbach

Cette conjecture date de 1742. Elle fait partie de la théorie algébrique des nombres et, à ce jour, n’a pas été résolue.

Elle partage des similarités avec l’hypothèse de Riemann et la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Elle s’énonce comme cela :

“ Tout entier pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. 

Soit 2N=p+q

2N est toujours un nombre pair et p et q sont deux nombres premiers.

Pour rappel, un nombre premier est un nombre dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Voici une partie de la liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…

Actuellement, la conjecture n’est pas totalement vérifiée. Cela dit, elle l’est pour tous les nombres entiers pairs jusqu’à 4,10 puissances 18 et pour tous les entiers impairs jusqu’à 8 875, 10 puissances 30.

Voici quelques théorèmes apparentés à la conjecture de Goldbach :

  • “ En supposant vraie une certaine généralisation de l’hypothèse de Riemann, tout nombre impair assez grand est somme de trois nombres premiers. ”,
  • “ Tout entier impair assez grand est somme de trois nombres premiers. ”,
  • “ Tout entier pair assez grand est somme de quatre nombres premiers. ”,
  • “ L’hypothèse de Riemann généralisée implique la conjecture faible de Goldbach. ”,
  • “ Tout entier impair > 1 est somme de cinq nombres premiers au plus. ”,
  • “ Tout entier impair > 5 est somme de trois nombres premiers. ”.

Les nombres de Fermat

Si on vous parle de triplets pythagoriciens, ça vous rappelle des souvenirs ? La conjecture de Fermat s’appuie sur le célèbre théorème de Pythagore.

En acceptant que x2+y2=z2 (la solution étant les longueurs des côtés d’un triangle rectangle), Pierre Fermat se demande alors si on remplace les carrés par des cubes, existe-t-il des solutions qui ne sont pas égales à zéros ?

Il en déduit que : “un cube n’est jamais la somme de deux cubes, une puissance quatrième n’est jamais la somme de deux puissances quatrièmes et plus généralement aucune puissance supérieure à 2 n’est la somme de deux puissances analogues.”

Voici alors que le premier théorème fondamental de Fermat s’exprime ainsi :

“L’équation xn + yn = zn n’a pas de solution en entier strictement positive, pour tout entier n strictement supérieur à 2.”

“ Les mathématiques sont une gymnastique de l’esprit et une préparation à la philosophie.”, Isocrate

La conjecture d’Euler

Cette conjecture est une conjecture de la théorie algébrique qui s’énonce comme suit :

“ Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n’est pas une puissance n-ième. 

Pour Euler, cette conjecture était la suite logique de la conjecture de Fermat.

La conjecture a été réfutée en 1966 grâce au contre-exemple de Lander et Parkin.

La conjecture de Poincaré

Cette conjecture fait partie du domaine de la topologie algébrique. Aussi connue sous le nom de théorème de Perelman, car c’est ce dernier qui l’a démontré en 2003.

Comment démontrer mathématiquement qu’une conjecture est vraie ?
Chaque branche des mathématiques est concernée par la conjecture. Essayer de démontrer est une forme mathématique à part entière. Démontrer les résultats et des solutions entières se retrouve dans les domaines arithmétiques, algébriques et géométriques comme dans toutes les disciplines de l’académie des sciences.

Elle s’énonce comme suit :

“ Considérons une variété compacte V à 3 dimensions sans bord. Est-il possible que le groupe fondamental de V soit trivial bien que V ne soit pas homéomorphe à une sphère de dimension 3  ? ”.

Entre propriétés géométriques et topologiques, les questions de Poincaré sont assez complexes à comprendre pour le mathématicien du dimanche !

Nous espérons vous avoir éclairé sur ce qu’est une conjecture, comment fonder une preuve mathématique, la démontrer et l’avérer, mais aussi sur tous les grands exemples que comptent les mathématiques.

Vous allez maintenant pouvoir vous entraîner en posant de simples conjectures. Décomposer, démontrer qu’il existe des liens entre plusieurs exemples et fondements font partie des découvertes mathématiques !

Vous pouvez être accompagné sur cette problématique avec des cours particuliers de maths. Le prof saura adapter son enseignement à votre niveau et vos attentes.

Besoin d'un professeur de Maths ?

Vous avez aimé l'article ?

5,00/5 - 1 vote(s)
Loading...

Chloé