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Etudier les variations d’une fonction et dresser son tableau de variations

De Simon, publié le 16/03/2016 Blog > Soutien scolaire > Maths > Comment Dresser un Tableau de Variations ?

En Terminale S ou ES, le problème de l’étude de fonctions est posé tous les ans dans l’épreuve de Maths du bac.

Dans ce type de problème, vous allez devoir étudier une fonction polynôme, exponentielle, logarithme ou trigonométrique.

L’étude d’une fonction consiste à étudier ses variations et ses limites, à chercher ses extremums, à trouver ses asymptotes si elles existent et enfin, à la tracer.

Etudier les variations d’une fonction est donc une question type qui se répète toujours dans les épreuves de mathématiques.

Dans cet article, je vais vous présenter la méthode générale pour étudier les variations d’une fonction définie sur un intervalle I, dresser son tableau de variations et ensuite tracer son graphique.

Cela vous servira évidemment aussi pour vos cours de maths.

Prenons l’exemple de la fonction f(x) définie sur et donnée par :

f(x) = x3 + 3x2 -9x +6

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Dériver la fonction

La fonction f(x) est une fonction polynôme formée par la somme de 3 termes de la forme « axn » (a et n étant des entiers naturels) et d’une constante. Sachant que la dérivée de « axn » est de la forme « anxn-1 » et que la dérivée d’une constante est nulle, la dérivée de f(x) est :

f'(x) = 3x2 +6x -9.

Factoriser si possible la dérivée de f

Le but de cette étape est de factoriser la dérivée de la fonction f(x) afin de l’exprimer sous la forme d’un produit ou d’un quotient d’expressions. La factorisation est une étape clé qu’il ne faut pas oublier parce qu’elle facilite énormément l’étude du signe de f'(x).

Et oui la factorisation, c’est comme résoudre une énigme mathématiques en cours de maths.

Nous remarquons qu’on peut prendre 3 en facteur ce qui donne : f'(x) = 3(x2 +2x -3).

x2 +2x -3 est un trinôme de second dégrée de la forme ax2 +bx +c avec a, b et c des nombres réels. Pour factoriser ce trinôme il faut tout d’abord calculer le discriminant et trouver les racines x1 et x2.

= b2 -4ac = 22 -4×1×-3 = 4 +12 = 16

On peut alors calculer les racines via les deux formules suivantes :

x1= -3

x2= 1

Notons que si le discriminant est positif (et alors les deux racines existent), le trinôme peut être écrit sous la forme factorisée (x- x1) (x- x2 ), ce qui donne x2 +2x -3 = (x-(-3)) (x-1) = (x+3) (x-1).

La dérivée de la fonction s’écrit donc sous la forme factorisée suivante :

f'(x) = 3(x+3) (x-1)

Etudier le signe de f'(x) sur l’intervalle I

3 est un nombre positif donc le signe de f'(x) est identique au signe de (x+3)(x-1).

Résolvons les inéquations suivantes :

x + 3 > 0 => x > -3 donc le binôme x+3 est positif lorsque x est supérieure à -3, nul lorsque x est égale à -3 et négatif lorsque x est inférieure à -3.

x – 1 > 0 => x > 1 donc le binôme x-1 est positif lorsque x est supérieure à 1, nul lorsque x est égale à 1 et négatif lorsque x est inférieure à 1.

Le tableau de signe de la dérivée f'(x) est présentée ci-dessous :

x– ∞                                 -3                                     1+∞
x + 3                 –                         0               +                                           +
x – 1                 –                                             –                   0                     +
f'(x)               +                         0                 –                   0                     +

Notons que nous aurons pu déterminer le signe du trinôme x2 +2x -3 en utilisant une autre méthode.

En effet, quand le discriminant est positif, le trinôme ax²+bx+c prend le signe contraire de a dans l’intervalle compris entre les deux racines x1 et x2 et le même signe que a ailleurs.

Dresser le tableau de variations de f sur I

f étant dérivable sur , pour tout intervalle J inclus dans :

– si f'(x) > 0 pour tout x appartenant à J, f est strictement croissante sur J.

– si f'(x) < 0 pour tout x appartenant à J, f est strictement décroissante sur J.

Le tableau de variation est la représentation schématique des directions que prend la courbe représentative d’une fonction.

Pour vous entrainer en cours de maths, placez les flèches sur le tableau ci-dessous.

Le tableau de variations de f est donné par :

x-∞                                           -3                                       1+∞
f(x)                                                   33                                                                                +∞

 

-∞                                                                                        1

Notons que f(-3) = 33 et f(1) = 1

Calculons les limites de la fonction :

= = +∞

= = -∞ (car un nombre négatif soumis à une puissance impaire reste négatif)

D’après le tableau de variations de f, on constate qu’elle possède un maximum au point A (-3;33) et un minimum au point B (1;1).

Tracer la fonction sur son intervalle de définition

Pour tracer un graphique représentant cette fonction, il suffit de placer son minimum et son maximum sur le repère et de faire un petit tableau qui nous aide à poser quelque points particuliers:

xf (x)
-51
-228
-117
06
5161

Et voici notre fameuse courbe :

Comment dresser un tableau de variation ? Apprendre les mathématiques avec les fonctions ! La variation d’une fonction.

Les maths et l’art sont souvent liés, seulement une courbe mathématiques est tout sauf de l’art.

Faites bien attention à placer correctement vos repères sur la courbe.

Liens pour s’entrainer aux épreuves de mathématiques :

Après la classe de seconde

Le tableau de variation d’une fonction sert à  repérer facilement les asymptotes. Il s’acquiert généralement par l’étude du signe de la dérivée.

En cours de mathématiques, les élèves travaillent aussi des tableaux qui ne représentent pas toute la fonction mais seulement une partie avec leur prof de maths.

C’est le cas lorsqu’elle se répète à l’infini.

Ces fonction là, sont dites périodique.

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SV
Invité
SV

Je l’aimais beaucoup ce cours

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