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Polynomial, Algorithmique, Cryptographie : Encore des Énigmes à Résoudre ?

Par Sophie le 22/11/2016 Blog > Soutien scolaire > Maths > La Liste des Problèmes Jamais Résolus en Mathématiques
Table des matières

Lorsque l’on commence à étudier les mathématiques à l’école primaire pour apprendre à compter et à calculer, on pose sans le savoir les bases d’un savoir fondamental.

En effet, si pour certains, les maths se résument à la multiplication, à la fraction ou encore aux statistiques, la discipline et la philosophie qui en découle permettent de mieux comprendre le monde qui nous entoure.

Comment définir la conjecture de Hodge ? Commencer tôt les mathématiques pour devenir celui ou celle qui parviendra à résoudre ces problèmes ?

Au collège comme au lycée, on apprend toute une série de théorèmes qui sont avérés et irréfutables. On pourrait facilement croire que la logique mathématicienne ne pose désormais plus de questions, qu’elle ne nécessite plus de recherches…

Et pourtant, certains problèmes mathématiques n’ont jamais été résolus, et même les plus grands chercheurs ne sont pas parvenus à trouver de solutions !

Vous lancer dans l’apprentissage des maths de manière approfondie vous sert donc à mieux réussir votre scolarité, mais pourrait même vous permettre d’être le premier à résoudre l’un de ces problèmes.

La résolution de ceux qui font partie des sept problèmes du millénaire pourrait même vous faire gagner un million de dollar. Intéressant, non ?

Superprof vous livre la liste des problèmes jamais résolus en mathématiques, et espère que vous rentrerez un jour dans la fabuleuse histoire des mathématiques en parvenant à les résoudre !

L’hypothèse de Riemann

Ce problème est considéré par de nombreux mathématiciens comme l’un des plus difficiles de tous les temps.
Et en effet, l’hypothèse de Riemann n’a jamais été résolue !

C’est sûrement la raison pour laquelle aujourd’hui, très peu de chercheurs travaillent dessus : par peur de « gâcher » leur carrière sur une énigme dont la solution semble impossible à trouver.

David Hielbert en avait fait en 1900 le huitième problème de sa liste de problèmes présentés au Congrès des mathématiciens de Paris. Cent ans plus tard, le Clay Mathematics Institute l’inclut à la liste des « problèmes du millénaire ».

Un prix d’un million de dollars est offert à qui parviendra à démontrer cette hypothèse.

Serait-ce une raison de plus pour prendre des cours de mathématiques et vous perfectionner, pour peut-être un jour résoudre ce problème appelé aussi « Le Graal des Mathématiciens » ?

En 1859, Bernhard Riemann publie un article intitulé « Sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une quantité donnée », sans savoir qu’il allait poser ici la question la plus compliquée de l’histoire des mathématiques.

Comment résoudre des problèmes mathématiques ? La fonction Zeta sur laquelle porte l’hypothèse de Riemann

Cette conjecture porte sur une question à laquelle tente de répondre les mathématiciens depuis plus de 2000 ans : l’origine des nombres premiers.

Poursuivant les travaux de son professeur Gauss, l’allemand Riemann met à jour la fonction Zêta.
C’est à dire qu’en construisant un graphique à trois dimensions, il nomme les points qui redescendent  « les points zéros » qui, selon lui, ont un lien avec les nombres premiers.

Les zéros non triviaux de cette fonction ont tous pour partie réelle ½.
Démontrer cette affirmation permettrait donc de découvrir, ou du moins d’aider à le faire, la répartition des fameux nombres premiers.

La Conjecture de Hodge

Appartenant aussi aux sept problèmes du Millénaire définis par l’institut Clay en 2000, la conjecture de Hodge réunit plusieurs compétences mathématiques qui n’avaient à priori pas de lien : la topologie algébrique, la géométrie algébrique…

Selon une définition dérivée de celle de l’institut Clay, cette conjecture stipule que sur les variétés projectives complexes (des types d’espaces topologiques particuliers), les objets nommés classes de Hodge sont des combinaisons linéaires à coefficients rationnels de classes associées à des objets géométriques nommés sous-ensembles algébriques.

Claire Voisin, mathématicienne française et médaillée d’or au CNRS, travaille sur cette hypothèse. Selon elle, sa démonstration serait un vrai trésor mathématique.

Comment trouver un professeur particulier de mathématiques ? Les mathématiciens n’y arrivent pas : et vous, parviendrez-vous à les résoudre ?

Dans une interview donnée à La Recherche, elle résume la conjecture de Hodge en expliquant qu’elle part d’un type d’objets, appelés variétés projectives complexes, qui sont des ensembles de points dans un ensemble projectif définis par des contraintes « polynomiales ».
Plutôt complexe, non ?

Il ne s’agit peut-être pas du problème le plus difficile à résoudre, mais certainement du plus compliqué à comprendre tant les connaissances en mathématiques que sa compréhension nécessite sont poussées.

Il est question, entre autres, de géométrie qu’on ne peut pas visualiser.

La Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Pour la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, il est question d’équations algébriques, que vous avez sûrement étudiées durant vos cours de maths.

Néanmoins, il vous faudra surement un certain niveau en mathématiques avant de pouvoir tenter de résoudre cette conjoncture.

Elle tend à définir le nombre de points remarquables sur des courbes dites elliptiques.

Il est déjà compliqué de déterminer les solutions d’une équation polynomiale P(x,y)=0 où x et y seraient des nombres rationnels.

Cette conjecture, elle aussi mise au prix d’un million de dollars en tant que problème du millénaire, complexifie la question en prédisant que le rang dépend uniquement de la donnée du nombre de solutions de l’équation pour tout nombre premier P.

L’Équation de Navier-Stoke

Ici, il est question de physique et de mécaniques des fluides.

Moins célèbre qu’E=MC2, l’équation de Navier-Stoke qui fascine autant les physiciens que les mathématiciens, vise à décrire le mouvement des fluides ou plus précisément son champ de vitesse.

Il s’agit d’une équation différentielle non-linéaire, et sa particularité est qu’elle est utilisée très souvent alors que sa solution n’est pour le moment pas trouvée !

Comment maîtriser les équations en mathématiques ? L’équation de Navier-Stoke permet de mieux comprendre les courants marins.

En effet, elle sert en outre à mieux appréhender les mouvements des courants dans les océans.

Que vous ayez des compétences en mathématiques ou en physique-chimie, démontrer l’équation de Navier-Stoke vous permettrait de remporter le fameux prix de l’institut Clay et de devenir le deuxième à résoudre l’un des sept problèmes du Millénaire.

En effet, pour le moment, seule la conjecture de Poincaré a été démontrée.

Les Équations de Yang Mills

Elles aussi en lien avec la physique, les théories de Yang Mills traitent de la théorie des champs basées sur la notion d’invariance de jauge qui sert à décrire les champs de force fondamentaux.

Afin d’expliquer l’infiniment petit, Yang et Mills ont tenté de décrire les particules élémentaires en construisant un modèle basé sur des théories géométriques.

Leur théorie, qui dit que certaines particules quantiques ont une masse positive, a été vérifiée par de nombreuses simulations sur ordinateurs.

Découverte de façon expérimentale par les deux physiciens, elle n’est toujours pas prouvée à ce jour d’un point de vue théorique.

P = NP

L’enjeu de ce problème du millénaire est sûrement le plus important de tous.
En effet, de sa résolution découlerait certainement celle des autres problèmes, tandis que le contraire impliquerait qu’ils resteraient sûrement insolvables…
Dans P=NP, on appelle P le problème qui consiste à trouver une liste d’éléments dans un ensemble donné.
Lié de près au fonctionnement des ordinateurs et des algorithmes, on pourrait traduire littéralement ce problème par la question suivante : « pouvons-nous trouver grâce à un calcul intelligent ce que nous pouvons trouver en ayant de la chance ? ».

Parviendrez-vous à répondre à cette question pour le moment sans réponse ?

Les Nombres de Ramsey

Le théorème de Ramsey est lié à la recherche d’ordre et de modèles au sein des systèmes.
Selon cette théorie, le désordre complet n’existerait pas.

Pour vulgariser, si l’on dispose des points n sur une feuille de papier et que chaque point est relié à tous les autres points par un trait rouge ou bleu, n doit être égal à 6 pour être certain de la présence d’au moins un triangle bleu ou rouge.

Plus simplement, on pourrait se demander quelle taille doit avoir un groupe pour qu’au moins trois de ses membres soient des étrangers et que trois d’entre eux soient des connaissances mutuelles.
La réponse à ce problème est 6.

Cependant, si l’on change le chiffre trois par quatre, le problème est impossible à résoudre.
Ou du moins, aucun mathématicien n’y est aujourd’hui parvenu.

Alors à vos exercices de maths : parviendrez-vous à trouver la bonne formule ?

Les Nombres de Lychrel Et les Palindromes

Pour comprendre les nombres de Lychrel, il faut tout d’abord saisir la définition de palindrome.
Les palindromes peuvent prendre la forme d’une phrase ou d’un nombre et s’écrivent de la même façon à l’endroit et à l’envers.

17371 est par exemple un nombre palindrome.

Comment apprendre à résoudre des problèmes de maths ? Même avec la programmation informatique, les chercheurs ne trouvent pas de palindrome à 196 !

Lorsque l’on additionne à répétition un palindrome avec son inverse et que le résultat ne forme pas un nombre palindrome, il s’agit d’un nombre de Lychrel.

59 n’est pas un nombre de Lychrel puisque :

59+95 = 154
154+451 = 605
605+506 = 1111

En effet, on aboutit ici à un autre palindrome.

Le plus petit nombre pour lequel on n’a pas trouvé de palindrome est 196 et c’est exactement ce qui passionne chaque chercheur en mathématiques.

Même après plus de douze millions d’additions répétées (faites à l’aide de la programmation informatique bien sûr), on n’a pas encore trouvé de palindrome au nombre 196 !

Êtes-vous prêt à poursuivre cette recherche ?

Avant de parvenir résoudre ces problèmes liés à l’algèbre, à la géométrie et à la physique, vous allez devoir adopter une approche mathématique solide et vous immerger dans l’univers scientifique de la discipline.

Que vous soyez en troisième en train de préparer le brevet, dans l’enseignement supérieur ou que vous cherchiez simplement à faire travailler votre mémoire et vos capacités intellectuelles grâce aux mathématiques, un enseignant à domicile pourrait vous aider à progresser en maths.

En effet, grâce à sa méthode entièrement personnalisée, il pourrait perfectionner votre esprit mathématicien
Et vous aider, peut-être, à devenir celui qui parviendra à résoudre l’un de ces problèmes mathématiques !

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Sophie
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