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Maths et phénomènes contre-intuitifs

De Philippe, publié le 10/10/2016 Blog > Soutien scolaire > Maths > Les Paradoxes Mathématiques les Plus Utiles et Célèbres

Avec tous ces chiffres arabes et ces lettres bizarres, il y a de quoi perdre son latin… ! Les mathématiques, ce sont un peu le PGCD (en arithmétique élémentaire) du cursus scolaire.

Cela dit, il vous sera probablement arrivé d’envier ces petits génies qui prennent les sciences comme un jeu.

Pour tout savoir des maths, essayons donc de suivre leurs pas, à la découverte des paradoxes mathématiques, et voyageons entre arithmétique, trigonométrie et probabilités.

Vous verrez, vous serez conquis et, dans peu de temps, vous donnerez vous-même des cours de maths !

Essai de définition générale

Pas besoin de sortir de l’ENS ou d’être lauréat de l’agrégation pour piger ce dont il s’agit.

Le terme paradoxe désigne une «proposition qui, contradictoirement, mettant la lumière sur un point de vue pré-logique ou irrationnel, prend le contre-pied des certitudes logiques de la vraisemblance » (TLFi). L’étude de ces phénomènes vaut tout un cours : interactifs, ils sont une matrice, un vecteur de pédagogie.

Il est bien évident que les sciences physiques recèlent dans leurs annales de nombreuses surprises à résoudre répondant à cette définition. Mais tout enseignant – ou tout élève – sait bien qu’il y a des paradoxes plus connus que d’autres, mais aussi plus intéressants… ou plus utiles. Certains pourront être rapprochés de la physique-chimie, d’autres des sciences et technologies en général.

Laissons de côté produit scalaire et autres équations différentielles, et sourions un peu.

Loin du calcul littéral, un proverbe chinois nous dit : « Trois sourires par jour, et adieu le médecin ! » Ajoutons à cela : « et la réussite aux examens est au rendez-vous ! ».

La multiplication exponentielle des problèmes de maths sera la division de vos erreurs dans la vraie vie – si si, je vous l’assure !

Les paradoxes mathématiques fascinent littéralement les amoureux de mathématiques. Un sujet au moins aussi fascinant que le nombre Pi !

Les faux paradoxes

Le paradoxe d’Achille et de la tortue

Rien que le nom a de quoi nous étonner ! Sa résolution nous conduit à la fable du lièvre et de la tortue. Si vous la voyez venir, c’est que vos acquis vous destinent aux Olympiades pilotées par le ministère de l’Éducation nationale et l’association Animath !

Revenons à nos tortues… C’est un vieux de la vieille, qui date de Zénon d’Élée (v. 490-v. 430 av. J.-C.). En laissant une avance de cent mètres à une tortue, avec les connaissances théoriques de son temps, Zénon affirmait qu’Achille ne pourrait jamais la rattraper, car la tortue avancerait elle aussi pour gagner. C’est une question que l’on ne vous posera probablement pas au baccalauréat.

Pas besoin de calculatrice pour entrer dans le mystère des énigmes scientifiques. Cahier de mathématiques | Des chiffres, des nombres, des théorèmes… Un vrai casse-tête ! | source : stocksnap.io

Cette assertion allait bien sûr contre l’opinion commune, mais il a fallu attendre les maths modernes pour la réfuter définitivement, grâce à la série, à la résolution d’équation, à l’équivalence graphique ou encore à l’infiniment petit.

L‘énigme du dollar manquant appartient au même type de raisonnement fallacieux, mais elle fait partie des exercices de maths indémodables (en plus d’être un moyen de saler l’addition…). Pour réviser votre logique, c’est top !

Le paradoxe du carré manquant

Non, ce n’est pas un casse-tête chinois ! Suivons un petit cours de géométrie par l’absurde.

Il s’agit tout bêtement d’une formulation mathématique vraisemblable, mais ne reposant que sur une illusion visuelle et donnant donc… une conclusion hautement improbable !

Sur le modèle du tangram, il s’agit de reconstruire un triangle avec d’autres formes géométriques. Plusieurs solutions existent… dont une fait qu’il reste un petit carré de vide au sein du triangle. Il est cependant impossible de perdre ainsi une partie de l’aire !

La solution : cette partie manquante n’est que le produit de la légère déformation de triangle imparfaits, aux côtés arrondis. C’était donc un faux triangle qu’il fallait réagencer ! Nul besoin d’avoir fait maths sup/MPSI pour s’en apercevoir !

Pour rester dans le même sujet, connaissez-vous les plus grands mystères mathématiques ?

Des paradoxes théoriques, mais difficilement applicables

Le paradoxe de Banach-Tarski

Ce théorème de géométrie pure a été démontré en 1924, en s’appuyant sur l’axiome de choix propre à la construction d’ensembles non mesurables. Il se résume grosso-modo à ceci : on peut découper une sphère de l’espace usuel {\mathbb{R} ^{3}} en un certain nombre (fini) de morceaux, puis ré-assembler ces derniers pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près.

C’est pour le moins curieux, me direz-vous. Effectivement, une telle chose n’est possible que si ces petits bouts de sphère ne sont pas mesurables (introduire un volume, par exemple, impliquerait de facto une contradiction). La méthodologie demande encore quelques précisions…

Allez, ce n’est pas tout : maintenant, je vous laisse essayer cette en vrai !

La géométrie plane de Neumann

En 1929, John von Neumann a rendu folles les méninges de ses contemporains.

Il partait lui aussi de l’axiome du choix pour décomposer un carré en un certain nombre (fini) d’ensembles de points. Ensuite, grâce à des transformations affines conservant leurs surfaces, il obtenait… non pas deux sphères, mais deux carrés.

Le père de la théorie de la relativité nous renseigne sur le cours des astres. Albert Einstein | Champion des maths ainsi que patron des équations et des savants fous ? | source : morguefile.com

Le problème induit par ce paradoxe a permis à Laczkovich, en l’an 2000, d’expliquer cette décomposition de l’intérieur d’un carré unité (ensembles bornés équidécomposables). Dur de suivre, pour la matière grise !

Le paradoxe du barbier

Les professeurs de collège et de lycée l’aiment beaucoup, car il permet de bien faire comprendre certaines choses aux étudiants. Beth, grand chantre de la logique, nous prie cependant de ne pas accorder une trop grande place à cette antinomie apparente.

Imaginez une collectivité dont le pouvoir central exigerait du barbier qu’il se charge de raser tous les hommes (et seulement eux !) qui ne se raseraient pas tout seuls. Notre barbier, lui aussi citoyen des lieux, est dans un sale pétrin : d’un côté, il contrevient à cette loi s’il se rase tout seul, car on a exigé de lui qu’il ne rase que les individus ne se rasant pas eux-mêmes ; de l’autre, s’il ne s’occupe pas de tailler sa propre barbe, il aura tort, car il devait raser les personnes non rasées…

C’est un bon moyen de mettre en lumière la possibilité d’édicter des normes absurdes, n’est-ce pas ?

L’antinomie de Russell, appartenant au champ de la théorie des ensembles (ou des classes) est légèrement différente, et se place sur le plan théorique : « En 1905, Bertrand Russell montre que la notion d’“ensemble des ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes” est contradictoire » (Encyclopédie universelle, t. 6, p. 265).

Et si la Terre se retournait comme un gant ?

Cap sur la topologie différentielle, et sus au linéaire. En 1958, S. Smale formulait l’« évasion (ou retournement) de la sphère ». Qu’es-aquo ? Assurément, une loi qui pourra amuser les matheux de classe préparatoire ou des grandes écoles, mais qui rencontrera nettement moins de succès auprès du public de l’enseignement primaire…

Par l’intermédiaire du progrès des animations informatiques, on a pu mettre en évidence la possibilité de faire passe l’intérieur d’une boule à l’extérieur, dans notre espace à trois dimensions.

De quoi se crêper le chignon avec Raoul Bott, et se chercher des poux pour une homotopie que l’on ne croisera que fort rarement dans la vie de tous les jours ! Mais, qui sait si cela ne serait pas un jour à l’origine d’une véritable révolution technique ?

La contre-intuition au jour le jour

Le paradoxe de Simpson

Pas grand-chose à voir avec de petits personnages jaunâtres peu doués pour l’abstraction rationnelle…

Le statisticien Edward Simpson a formulé ce paradoxe en 1951. En fait, cela concerne des séries de données apparemment contradictoires, mais simplement parce qu’elles appliquent des critères différents.

Exemple : contre telle maladie, l’ordonnance A serait plus efficace que l’ordonnance B. La cause est entendue ? Non, car quand ladite maladie est bénigne, le traitement B est plus efficace que le traitement A, dont les résultats sont toutefois meilleurs en cas d’atteinte aiguë…

Du Collège de France ou de l'École normale supérieure, Poincaré, Euler, Gromov et autres Grothendieck sont des héros de la science. Mathématiques | Nombres relatifs, polynômes, algèbre… ces données qui bercent nos études ! | source : unsplash.com

Ce paradoxe n’est possible que s’il y a une variable influençant le résultat, et si l’échantillon statistiquement étudié n’est pas distribué de manière homogène.

C’est donc une invitation à pousser jusqu’au bout les choses, afin d’avoir toutes les cartes en main devant toute décision.

Condorcet et sa méthodologie électorale

Elle est issue du mathématicien révolutionnaire du même nom. C’est une exigence appliquée au système électif, qui voudrait que s’il doit y avoir un vainqueur légitime à l’issue d’un vote, ce ne sera toujours que celui qui, confronté tour à tour à chacun de ses concurrents, leur sera préféré par voie électorale.

Par opposition, c’est une illustration de ce qu’un vote à la pluralité donne souvent un résultat différent ou contraire aux volontés réelles du corps électoral. En bref, selon la façon dont se déroule le vote, le résultat en sera influencé…

On se doute bien qu’une entrée de ce principe dans la Constitution rendrait à peu près impossible le fonctionnement des institutions… Mais cela vaudrait peut-être le coup d’être essayé ?

Des scientifiques ont utilisé les maths pour déterminer le rôle principal de Game of Thrones. Pensez-vous qu’ils se sont servis de Condorcet et de sa méthodologie électorale ?

Rogers, quel phénomène !

La formulation de ce processus mathématique est des plus simples. En présence de deux ensembles, en déplaçant un élément de l’un à l’autre, il peut arriver que la moyenne de chacun de ces deux groupes… augmente !

Mais deux conditions sont nécessaires à cette surprise numérique : le nombre déplacé doit être inférieur à la moyenne de son ensemble d’origine et supérieur à celle de son ensemble de destination.

Vous voyez, ce n’est pas toujours une histoire compliquée de fonctions délirantes ! Que l’on soit en terminale, en école d’ingénieur, en classe de seconde ou que l’on s’apprête à passer le brevet des collèges, ces cas limites sont à notre portée !

Les cours particuliers à domicile concernent aussi la chimie analytique. Professeur de mathématiques | Le soutien scolaire, un bon moyen d’inverser le processus des inégalités | source : kaboompics.com

Bref, entre les faux et vrais problèmes, il y a vraiment de quoi s’amuser ! Et de quoi mettre à l’épreuve ses camarades… De la théorie à l’inapplicable, il n’y a qu’un pas.

Vous pourrez être en mesure de bluffer votre prof de maths ou vos camarades de soutien scolaire en mathématiques.

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