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Factoriser et mieux Comprendre les Nombres Complexes

Par Sophie le 22/11/2016 Blog > Soutien scolaire > Maths > Comment Résoudre une Équation en Maths ?
Table des matières

Les mathématiques représentent souvent une matière complexe, redoutée par de nombreux élèves…et de nombreux adultes !

Pourtant, cette discipline un peu mal-aimée fait partie des savoirs fondamentaux à maîtriser si l’on veut réussir sa scolarité.

Jusqu’à votre bac, vous n’échapperez pas à la résolution de problèmes mathématiques.

Et plus tard, dans l’enseignement supérieur, vos notions de maths vous permettront d’adopter un certain esprit de rigueur, de synthèse et cela améliorera même l’efficacité de votre mémoire.

Comment mettre en équation un problème ? Dès le primaire, les mathématiques font partie des savoirs fondamentaux à acquérir !

Alors que Mickaël Launey, célèbre youtubeur et mathématicien, sort ce mois-ci un ouvrage intitulé « Le Grand roman des maths » pour permettre de se réconcilier avec la matière, il est temps de revoir une des bases des mathématiques : les équations.

Avec une calculatrice et de la motivation, vous saurez à la fin de cet article comment résoudre une équation. Ce qui vous permettra, entre autres, d’aborder les maths avec plus de sérénité.

Qu’est-ce qu’une Équation ?

En mathématiques comme dans les autres matières, il est nécessaire de comprendre le sens des termes que l’on emploie.
Votre professeur vous le dira certainement : saisir la définition du vocabulaire mathématicien est essentiel si l’on veut progresser en maths.

Ainsi, avant de faire une équation de mathématiques, vous devez connaître la définition.

Selon le dictionnaire Larousse, l’équation est une « égalité qui n’est vérifiée que pour certaine(s) valeur(s) de la ou des inconnue ».
Dès cette première définition plutôt généraliste, les termes « valeurs » et « inconnues » apparaissent. Ils ne vous quitteront pas tout au long de la résolution de votre équation.

Plus mathématicienne, la définition du CNTRL met en lumière de façon plus évidente la portée de ce mot.
Il s’agit d’une « égalité entre deux expressions algébriques contenant une ou plusieurs inconnues, qui peut être vérifiée pour une ou plusieurs valeurs des inconnues ».

Comment résoudre une équation produit nul ? Pour réussir en maths, il faut d’abord comprendre les mots spécifiques…et les apprendre !

Néanmoins, si la notion reste floue pour vous, la définition trouvée dans un cours de maths d’une classe de quatrième pourrait mieux vous convenir : « une équation est une égalité qui comporte une variable (souvent appelée x), elle sert à résoudre des problèmes ».

Vous avez désormais tous les éléments pour comprendre l’équation :

  • égalité entre deux expressions algébriques
  • une ou plusieurs inconnues à trouver
  • une variable appelée « x »
  • utile à la résolution de problèmes

Qu’il s’agisse d’une équation du second degré (forme réduite),  d’une équation à une inconnue, d’une équation différentielle, vous devriez être à même de les résoudre (et de les factoriser).

Les Compétences à Avoir Pour Résoudre des Équations

Réussir à résoudre une équation nécessite certaines compétences relatives à l’apprentissage des mathématiques et à ce fameux « esprit mathématicien » que l’on doit acquérir durant sa scolarité.

L’esprit mathématicien

 L’appréhension ressentie par de nombreux élèves quant à la discipline est liée en partie au fait qu’ils sont nombreux à ne pas voir l’utilité des maths dans la vraie vie.

En réalité, les maths font partie intégrante de nos quotidiens, même si nous nous en rendons rarement compte.
De la cuisine à l’achat d’une maison, en passant par le moment où l’on fait ses courses ou ses comptes, la matière est omniprésente dans nos vies.

Votre prof de maths à l’école ou votre professeur particulier vous apporteront des compétences qui vous serviront tous les jours.

Propres à l’esprit mathématicien, elles sont en outre indispensables lorsque l’on veut résoudre une équation sans faire d’erreurs.

  1. La rigueur
    Il est nécessaire d’être rigoureux quand on veut faire des maths, et plus particulier lorsque l’on veut faire des équations. Lorsque vous vous trouverez face à vos exercices de maths ou face à votre contrôle, il vous faudra être précis et raisonner avec logique.
  2. La mémoire
    Les mathématiques font travailler la mémoire.
    En vous entraînant régulièrement, vous serez capable de faire le lien avec vos leçons de maths et de les mettre en application pour résoudre l’équation qui vous est proposée.
    Aussi, vous pourrez vous remémorer d’anciennes équations résolues qui ressemblent à celle que vous devez effectuer.
  3. L’organisation
    Faire une équation nécessite de procéder par étapes.
    L’organisation, tant dans votre exercice que dans votre environnement de travail, vous permettra d’appréhender l’exercice avec une certaine sérénité. Vous devez ne pas vous éparpiller.

Quand apprend-on des équations ?

Pendant l’école primaire, on apprend bien évidemment à compter mais on se familiarise aussi avec le calcul mental.
On commence à additionner, à soustraire et à multiplier.
Cet enseignement élémentaire permet d’avoir les bases des mathématiques.

Comment améliorer son niveau en mathématiques ? Au lycée, les équations commencent à se complexifier !

C’est au collège que les équations commencent progressivement à apparaître.

En cinquième, on apprend à résoudre des équations en s’aidant du calcul littéral.
On découvre les équations à travers les fameuses « expressions littérales », qui sont les formules mathématiques dans lesquelles des lettres apparaissent.

Voici un exemple d’équation proposée en cinquième : 7x + 5 = 3x – 15
Ici, il faut trouver l’inconnue (x).

En quatrième et en troisième, les fractions et les nombres négatifs apparaissent pour préparer les élèves au diplôme du brevet des collèges.
Lors de l’épreuve de mathématiques, les équations peuvent alors prendre cette forme :

(8x-6)/9-(-10x-6)/6 = (x-5)/4

Au lycée, dès la classe de seconde, le niveau en maths augmente et des équations plus complexes apparaissent.
Elles ne quitteront pas le programme de mathématiques au lycée, surtout pour ceux qui choisiront de préparer le bac ES option spé maths et qui continueront en maths supp dans l’enseignement supérieur.

Résoudre Une Équation du Premier Degré

Les équations du premier degré apparaissent comme les équations les plus simples à résoudre.
En effet, trouver la solution pour une équation du premier degré n’implique que quatre type de calculs : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Si vous devez résoudre une équation du premier degré à une inconnue, votre objectif est simple : il vous faut trouver la valeur de x (la fameuse inconnue).

Pour une équation simple, vous allez alors procéder par étapes :

  • isoler l’inconnue
  • regrouper les termes
  • diviser
  • conclure par la solution, généralement nommée S

Concrètement, pour cette équation (3x-5 = –x +2), votre calcul devra être similaire à celui-ci :

3x+x= 5+2 (ici, l’inconnue a été isolée)
4x = 7 (les termes ont été regroupés)
x=  7/4 (division par 4)

Donc S = 7/4

Vous pouvez peut-être désormais tenter de résoudre la plus célèbre des équations du premier degré de l’histoire des mathématiques : l’épitaphe (sur la tombe) du mathématicien Diophante d’Alexandrie.

Elle date du IIIe siècle et permet de trouver son âge.

Trouver la Solution Pour une Équation Produit-Nul

Une équation-produit est une équation du deuxième degré.

Concrètement, une équation produit prend la forme suivante : (ax + b)(cx+d) = 0
X est toujours l’inconnue, et a, b, c, et d sont des nombres fixes donnés par l’exercice.

Comment trouver un prof particulier de mathématiques ? Apprendre ses cours de maths et s’entraîner régulièrement : la clé pour réussir ses équations !

Lors de votre cours de maths sur ce type d’équations, votre enseignant vous expliquera une règle élémentaire pour leur résolution : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

Il vous faudra donc résoudre autant d’équations qu’il y a de facteurs !

On ne vous le répétera jamais assez : la meilleure façon d’apprendre est de s’entraîner.
Voici donc un exemple d’équation produit-nul, avec sa solution.

(3x + 4) × (2x – 5) = 0

Les deux facteurs correspondent aux deux groupes d’équation entre parenthèses. Il va donc falloir les deux.

  • 3x + 4 = 0
    3x = -4
    x = -4/3
  • 2x-5 = 0
    2x = 5
    x= 5/2

Cette équation a donc deux solutions :  -4/3 et 5/2.

Le cas des équations-quotients

Une équation-quotient a pour règle un théorème : un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

Vous êtes face à une équation-quotient si votre exercice a la forme suivante : f(x) / g(x) = 0.

Pour résoudre une équation-quotient, vous devez :

  • exclure les valeurs interdites, c’est-à-dire celles qui annulent le dénominateur
  • tout réduire au même dénominateur
  • ramener à un quotient-nul
  • résoudre l’équation
  • vérifier que les valeurs obtenues ne sont pas des valeurs interdites

Voici un exemple de résolution d’équation-quotient utilisant les produits en croix : x / x+1 = x-1 / x+2

x (x + 2) = (x − 1)
(x + 1) x (x + 2) − (x − 1) (x + 1) = 0
x² + 2x – (x² – 1)  = 0
x² + 2x – x² + 1 = 0
2x + 1 = 0
x =   -(1/2)

Il ne s’agit pas d’une valeur interdite. Ainsi, la solution S = -(1/2).

La Mise En Équation d’un Problème

Lors de vos leçons de mathématiques, pendant les contrôles ou pendant une épreuve d’examen, il peut vous être demandé de mettre en équation un problème donné.

Comment préparer l'épreuve de mathématiques du brevet des collèges ? Même en géométrie, on peut se servir d’une équation pour résoudre un problème !

La méthodologie est simple, et doit encore une fois être rigoureuse si l’on veut s’assurer de donner une réponse juste :

  • lire plusieurs fois l’énoncé pour bien le comprendre
  • déterminer l’inconnue (ou les inconnues) qui correspond généralement au nombre demandé dans la question posée par le problème
  • traduire et simplifier le texte en écritures mathématiques
  • résoudre l’équation obtenue
  • vérifier le résultat plusieurs fois
  • rédiger la réponse à la question

Dans certains cas, il peut s’agir d’un problème géométrique.
La procédure est la même, il vous faudra simplement faire un schéma supplémentaire au brouillon à l’aide de vos cours de géométrie pour pouvoir le résoudre.

Voici typiquement un exemple de problème qui peut être mis en équation :

Trois cousins, Jean, Yanis et Lucas ont à eux trois 60 ans.
Quel est l’âge de chacun, sachant que Lucas a le triple de l’âge de Yanis et que Jean a dix ans de moins que Lucas ?

Dans ce problème à résoudre, les inconnues à trouver à l’aide de plusieurs équations correspondent aux âges respectifs des trois cousins !

Plusieurs solutions s’offrent à vous si vous souhaitez vous perfectionner en maths et approfondir durablement vos compétences en équations.

Des cours de mathématiques avec un professeur particulier vous feront progresser. Il saura vous expliquer les systèmes d’équations à votre rythme et avec une pédagogie ludique et interactive.
Réviser régulièrement en réalisant des fiches de révision ou encore suivre des cours de maths en ligne sur Youtube vous aideront, aussi, à devenir meilleur en maths !

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Sophie
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