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Pi ou l’incarnation de la beauté des mathématiques !

Par Alexia le 17/10/2016 Blog > Soutien scolaire > Maths > La Fascination Autour du Nombre Pi en Maths
Table des matières

Avant toute chose, pourquoi Pi ?

Kezako ?

Pi est une lettre grecque, la première des mots grecs περιφέρεια et περίμετρος qui veulent respectivement dire « périphérie » et « périmètre ».

La notation de Pi π n’apparaitra qu’en 1647 sous la plume de William Outright et ne sera réellement popularisée qu’en 1748 par Leonhard Euler dans son ouvrage Introduction à l’analyse infinitésimale. 

Mathématiquement, Pi sert à calculer le volume d’une sphère ou encore la circonférence ou l’aire d’un cercle.

Mais alors, pourquoi toute cette fascination et cette curiosité autour de Pi ?

Nous allons d’abord revenir sur l’histoire de Pi puis nous aborderons les découvertes des chiffres décimaux de Pi. Nous verrons ensuite que Pi est à la fois un nombre irrationnel, un nombre transcendant et peut-être un nombre univers. Nous conclurons par quelques mystères autour du nombre Pi.

Même si vous n’aimez pas les mathématiques, l’algèbre, la trigonométrie, Gauss, Thalès, Pythagore et tous ces théorèmes, je vous assure que vous trouverez votre compte dans cet article !

Pour être incollable sur le nombre Pi et tout savoir sur la culture des maths, vous n’avez plus qu’à lire !

L’histoire et la naissance de la fascination autour du nombre Pi

Si aujourd’hui, les ordinateurs les plus puissants sont capables de déterminer jusqu’à 13 000 milliards de décimales de Pi, vous vous doutez bien que cela n’a pas toujours été le cas.

  • Dès l’Antiquité, les érudits et les mathématiciens se fascinent pour Pi et cherchent une valeur la plus représentative possible du concept.
  • -1680 avant J-C : la plus vieille valeur de Pi retrouvée est l’œuvre des Babyloniens. Ils auraient cherché à comparer le périmètre du cercle avec celui d’un hexagone. La valeur approximative de Pi est alors de 3 + 1/8 = 3,125
  • -1650 avant J-C : le papyrus de Rhind découvert en 1855 nous enseigne que les Egyptiens ont également planché sur le nombre Pi et cherché à l’approximer. Le scribe Egyptien Ahmès énonce que « l’aire du cercle de diamètre 9 coudées est celle du carré de coté 8 coudées ». Mathématiquement, cela signifie (16/9)soit environ 3,16.
  • -700 avant J-C : le texte indien Shatapatha Brahmana donne également une approximation de Pi égale à 25/8 (3,125). Les mathématiciens indiens de l’époque védique approximent une nouvelle fois Pi à 3,1416 grâce à des calculs d’astronomie.
  • Archimède (-287/-212) est le premier à donner un encadrement de Pi dans son traité De la mesure du cercle. Grâce à une méthode astucieuse, Archimède estime que Pi est compris entre la valeur du périmètre d’un polygone régulier inscrit dans le cercle et la valeur du périmètre d’un polygone régulier exinscrit (tangent aux côtés du polygone). En utilisant un polygone à 96 côtés, Archimède arrive à l’approximation suivante : 220/71 < Pi < 22/7

La méthode d’Archimède restera utilisée pendant 2000 ans après sa mort. Qui dit mieux ?

Quel théorème scientifique calcule Pi avec précision ? Le périmètre du cercle (rouge) est compris entre le périmètre de l’hexagone vert et celui de l’hexagone bleu selon la méthode d’Archimède.

Connaissez-vous les paradoxes mathématiques les plus célèbres ?

La course aux décimales

La méthode d’Archimède ayant fait ses preuves, de nombreux mathématiciens vont s’en servir pour déterminer de plus en plus de décimales du nombre Pi.

Votre ordinateur personnel est aujourd'hui capable de vous calculer pi pi sans effort ! Qui trouvera le plus de décimales du nombre Pi ?

  • 5 chiffres après la virgule : Liu Hui reprend à son compte la méthode pour donner une approximation de Pi au cent millième.
  • 6 chiffres après la virgule : l’approximation est rendue au millionième près (3,141592) par le mathématicien Tsu Chung Chih.
  • 14 chiffres après la virgule : se basant toujours sur la découverte d’Archimède, l’astronome perse Jemshid al Kashi présente au monde les 14 premières décimales de Pi.

L’occident attendra quelques siècles pour se lancer dans la course aux records des décimales de Pi, bien que dès le 17ème siècle Léonard de Pise dit Fibonacci, proposa des approximations intéressantes de Pi.

  • De 20 à 32 chiffres après la virgule : toujours grâce à la théorie d’Archimède, le mathématicien allemand Ludolph Van Ceulen établit à l’aide de polygones à 480 milliards de côté (60*233) les 20 premières décimales de Pi en 1596, puis les 32 premières en 1615. Son obstination lui vaudra que le nombre Pi soit appelé « le nombre de Van Ceulen » outre Rhin. Quand même, un peu de reconnaissance !

Le véritable tournant dans le calcul des décimales de Pi est la découverte de l’analyse et du calcul différentiel. De nombreux mathématiciens comme John Wallis, Leibniz, James Stirling ou encore Newton comprennent que Pi n’est pas uniquement appréhendable géométriquement, mais qu’il peut l’être sous forme de séries.

  • De 71 à 100 chiffres après la virgule : ainsi, Abraham Sharp obtient 71 décimales correctes de Pi en 1699, la barre des 100 décimales étant franchie en 1706 par John Machin avec l’aide de la fonction arctan. De son pur intérêt mathématiques, Pi est devenu un challenge pour tous les mathématiciens, un signe de prestige évident.
  • Plusieurs milliers de milliards de chiffres après la virgule : de nos jours, les ordinateurs les plus perfectionnés sont capables de donner plusieurs milliers de milliards de décimales de Pi, l’homme ne fait plus le poids…

Qu’à cela ne tienne, l’homme a trouvé d’autres façons de s’amuser avec Pi : réciter un maximum de ses décimales !

On peut d’ailleurs trouver le club fermé des personnes connaissant les 1000 premières décimales de Pi (the 1000-club).

Parmi les exploits notables, citons Daniel Tammet qui en 2004 cita 22 514 décimales de Pi en à peine plus de 5 heures.

Le record actuel est détenu par un Japonais qui a récité 100 000 décimales de Pi.

Si vous voulez vous lancer, il ne vous faudra pas plus de 16h30… !

Si le Pi semble indéfini et donc mystérieux, connaissez-vous les plus grands mystères des mathématiques ?

Les propriétés de Pi

Rentrons maintenant au cœur de ces deux petites lettres qui révèlent encore aujourd’hui de nombreuses surprise !

Pas très rationnel, tout ça !

Pi est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il n’est pas possible de l’écrire comme une fraction de deux nombres entiers (par opposition au nombre rationnel).

De fait, son écriture décimale n’est ni périodique, ni finie. En d’autres termes, les décimales de Pi ne sont pas prévisibles et aucun modèle ne pourrait les anticiper.

Les premiers mathématiciens trouvèrent le principe de l’indéterminable et de l’infini abstrait, ils considèrent même Pi comme un affront à l’omniscience de Dieu !

Un nombre transcendant !

Pi est un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il ne pourrait être solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

Cependant, des formules lient Pi à d’autres constantes mathématiques comme le nombre d’or, qui correspond exactement aux modalités de construction de la suite de Fibonacci.

Pi, nombre univers ?

Le fait que les chercheurs ne sachent toujours pas si Pi est un nombre univers (un nombre présentant dans son développement décimal, n’importe quelle suite finie de chiffres) contribue grandement à la fascination qui perdure autour de Pi.

En quasiment quatre millénaires, ce nombre n’a toujours pas révélé tous ses secrets !

Pi est partout !

Le théorème de Thalès existerait-il sans le cercle inscrit et Pi ? Hé oui ! Le nombre Pi est partout autour de vous !

L’omniprésence de Pi, en dehors de la géométrie peut aussi constituer une curiosité pour les chercheurs ou les amateurs de maths.

Pi est effectivement la limite de certaines fractions continues, racines emboitées.

Les recherches menées sur les nombres transcendants et irrationnels et en grande partie liées à Pi, apportent une réponse à la quadrature du cercle.

Il est en effet impossible de construire à la règle et au compas, un carré dont la superficie serait égale à celle d’un cercle donné.

En statistiques et en probabilité, le nombre Pi apparaît également, comme dans le problème de l’aiguille de Buffon.

Des mathématiciens américains ont utilisé les maths pour découvrir le héros de Game of Thrones. Se sont-ils servis de Pi pour cela ?

Quelques curiosités autour de Pi

Plus fascinant, l’omniprésence de Pi dépasse le simple cadre mathématique.

Pi est présent partout où se dessine un cercle, dans une ampoule, le soleil, un œil, une séquence ADN !

Pi est même présent dans l’équation du célèbre principe d’incertitude d’Heisenberg qui cherche à éluder l’Etat de l’univers.

La Pi-ramyde de Khéops

Comment faire une démonstration qui ait du sens au niveau scientifique ? Quel est le lien entre le nombre Pi et une pyramide en Egypte ?

Mais Pi apparaît aussi dans des constructions mythiques, sans lien apparent avec les cercles.

C’est notamment le cas pour la célèbre pyramide de Khéops.

Nombreux ouvrages mettent en évidence que Pi est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides. Ce rapport mathématique est pour Khéops quasiment égal à Pi (je vous laisse calculer le périmètre !).

Véritable volonté architecturale ou pure coïncidence ?

Mathématiques et littérature !

Enfin, pour ceux qui dissocient systématiquement mathématiques et littérature, Pi réconcilie les deux camps. Des poèmes permettent en effet d’apprendre les premières décimales de Pi (127 dans le poème suivant) et d’impressionner pourquoi pas vos amis ! L’idée est la suivante : le nombre de lettres dans chaque mot correspond à une décimale de Pi.

« Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages,

     3   1   4     1   5           9           2       6         5     3     5

Immortel Archimède, artiste ingénieur, … »

     8                 9               7               9

 

Si vous voulez apprendre le poème en entier c’est par ici !

  

En synthèse :

 

Alors pourquoi cette fascination autour du nombre Pi ?

 

  • C’est historique ! Pi reste toujours fascinant car il a bercé l’histoire des mathématiques. Tous les plus grands mathématiciens ont été fascinés par ce symbole. Cette fascination est universelle et dure depuis près de 4000 ans.
  • Encore quelques secrets à percer ! C’est un fait, Pi n’a toujours pas révélé tous ses secrets, c’est un symbole qui garde une grande part de mystère, un symbole qui dépasse les mathématiques et qui en est d’ailleurs un très bel, si ce n’est le plus bel ambassadeur.
  • Vive les maths ! Souvent vu comme une science austère ou l’imagination n’a pas sa place, Pi redonne ses lettres de noblesse aux maths et permet de dépasser ce cliché.
  • Pi est vraiment spécial ! Ses propriétés extraordinaires et son omniprésence dans les sciences ainsi que dans la vie courante, confère à Pi un statut à part.

Vous voilà un conquis par Pi ! Ne reste plus qu’à trinquer ensemble au prochain « Pi day », chaque 14 mars : 3/14 en format de date américaine 😉

 

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Alexia
Passionnée de danse, de musique et de voyages, je suis curieuse et j'aime apprendre et découvrir sans cesse de nouvelles choses.

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