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Les Équations de Maths à connaître absolument

De Simon, publié le 22/04/2016 Blog > Soutien scolaire > Maths > 10 Equations Mathématiques qui ont Changé le Cours de l’Histoire

Les mathématiques nous entourent en permanence, un peu comme si nous vivions constamment dans la matrice de Neo (Cf. film « Matrix »).

Lorsque vous regardez votre maison, l’agencement de rues de votre quartier, quand vous démarrez votre voiture ou lancez votre lave-vaisselle, quand vous faites du bricolage, quand vous peignez un tableau ou jouez du piano, les maths sont véritablement partout.

Il n’y a pas un objet qui ne soit pas l’aboutissement de réflexions mathématiques.

Équations complexes à plusieurs inconnues, théorèmes mathématiques qui remontent à l’Antiquité, jusqu’aux dernières découvertes du XXe siècle ont façonné notre monde à jamais.

A chaque nouvelle équation mathématique, c’est un flot de questions et de nouvelles réponses sur notre monde physique qui apparaissent.

En 2013, l’auteur Ian Stewart, mathématicien et scientifique britannique de renom, a publié un ouvrage intitulé « Les 17 équations qui ont changé le monde » (Ed. Robert Laffont).

Faire des maths….c’est un donc un peu changer le monde !

Si vous voulez comprendre pourquoi les maths sont si importants, quels impacts ont apporté chaque équation mathématiques, découvrez dès à présent 10 de ces formules totalement révolutionnaires pour vos cours de maths.

Le théorème de Pythagore

Ce théorème est sûrement l’un des plus connus.

Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Un théorème de géométrie euclidienne

Même après des années sans faire de cours de maths, le nom de ce théorème trotte sûrement dans un recoin de votre mémoire.

Tout le monde le connaît par cœur mais rappelons-le rapidement : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des CARRES des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème, qui date de 530 avant notre ère, est une des bases de nos mathématiques aujourd’hui, il a contribué à l’histoire des mathématiques depuis toujours.

Quelle est l'implication de Pythagore dans les maths modernes ? Quand le théorème de Pythagore devient Art.

Il est essentiel pour mieux comprendre la géométrie : en effet, cette équation a modifié notre regard sur la géométrie habituellement plane.

On dit que nous passons d’une géométrie euclidienne à une géométrie non-euclidienne.

Depuis, grâce à Pythagore et à sa fameuse équation, il est désormais facile de calculer des longueurs, des angles et de démontrer que tel triangle est rectangle.

On retrouve souvent cette notion dans l’univers des bâtisseurs, de l’architecture.

Les logarithmes

Les logarithmes, popularisées par John Napier en 1610, regroupent des fonctions inverses, des opposées et des fonctions exponentielles.

Le logarithme de base b d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base b pour obtenir ce nombre. Les logarithmes sont fréquents dans les formules utilisées en sciences, mesurent la complexité des algorithmes et des fractales et apparaissent dans des formules permettant de compter les nombres premiers.

Jusqu’au développement de l’ordinateur, le calcul avec les logarithmes était la façon la plus habituelle de multiplier ensemble un grand nombre, ce qui a permis de calculer plus vite mais surtout de faire des bonds de géant dans les domaines des mathématiques, de la physique, ou encore de l’ingénierie et de l’astronomie.

Il existe 3 types de logarithmes :

  • Le logarithme népérien est la base fondamentale en analyse mathématique
  • Le logarithme décimal est utilisé en calculs mathématiques
  • Le logarithme binaire est utilisé en théorie informatique et pour les calculs appliqués (en « cour de math« ).

Le logarithme d’un nombre est la puissance à laquelle il faut élever sa base pour obtenir ce nombre.

Par exemple, en ce qui concerne la base de 10, le logarithme (log) est : Log (1) = 0, log (10) = 1, log (100) = 2.

On peut par exemple se servir des maths au poker et pour résoudre des énigmes.

La loi de la gravitation

Qui n’a jamais entendu parler de la loi de la gravitation d’Isaac Newton ? Vous savez, l’histoire de la pomme que le savant reçoit sur la tête tandis qu’il admire la lune dans le ciel ? C’était en 1687.

. Cet article présente essentiellement les aspects de la mécanique classique de la gravitation, et non pas la relativité générale qui procède d'un cadre plus général dans un nouveau paradigme. La loi de la gravitation ou loi de l’attraction universelle, découverte par Isaac Newton.

C’est en faisant le rapprochement entre ces deux corps (la lune et la pomme) que Newton s’interroge alors : pourquoi la lune ne tombe pas ?

La réponse est évidente : elle est « retenue » par une force gravitationnelle.

Le génie mathématique tombe-t-il du ciel ? L’Arbre de Newton à l’Université du Wisconsin (USA)

C’est ainsi qu’est née la célèbre formule de la loi de la gravitation de Newton : « les astres s’attirent de façon proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

200 ans après Newton, Einstein remplacera la théorie de la gravitation par sa théorie sur la relativité.

La théorie de la relativité

Que l’on soit versé dans les mathématiques et la physique ou que l’on ne connaisse rien au vocabulaire des mathématiques, tout le monde connaît la célèbre formule E = mc² d’Albert Einstein.

L'expression théorie de la relativité renvoie le plus souvent à deux théories complémentaires élaborées par Albert Einstein : la relativité restreinte et la relativité générale1. Ce terme peut aussi renvoyer à une idée plus ancienne, la relativité galiléenne qui s'applique à la mécanique newtonienne. (E représente l’énergie, m la masse d’un corps et « c » la célérité de la lumière)

Cette formule qui illustre la théorie de la relativité (relativité restreint été relativité générale) a bouleversé tous les codes de la physique connus jusqu’alors.

Elle demeure aujourd’hui encore capitale car montre que la matière peut être convertie en énergie et réciproquement.

Comment Eisntein révolutionna le monde de la physique et des maths ? Etre un génie et swag à la fois.

La relativité restreinte apporta l’idée que la vitesse de la lumière était une constante universelle qui ne se modifiait pas et que le passage du temps n’était pas le même pour les personnes qui se déplaçaient à des vitesses différentes.

La relativité générale d’Einstein décrit la gravité où l’espace et le temps sont incurvés et repliés : ce fut un changement majeur depuis la loi de la gravitation de Newton.

Aujourd’hui encore, la théorie de la relativité d’Einstein demeure essentielle pour comprendre l’origine, la structure et le destin de notre Univers.

Les maths permettent de mieux comprendre le monde. D’ailleurs on peut facilement se rendre compte de l’omniprésence des maths dans notre quotidien !

La théorie du Chaos

Ce qui est très intéressant avec la théorie du Chaos, c’est qu’elle a démontré que l’on ne pouvait pas prédire avec déterminisme ce qui allait devenir.

Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. La théorie du chaos étudie le comportement des systèmes dynamiques.

Cette théorie prouve qu’il existe aucun véritable processus que l’on peut pronostiquer.

La théorie de Robert May est très récente puisqu’elle date de 1975.

Elle décrit un processus en constante évolution à travers le temps.

Quelle est l'importance de nos actes sur le monde ? Un battement d’aile de papillon au Brésil peut entraîner une tornade en Asie.

Dans sa formule, May a souhaité expliqué qu’un comportement chaotique (comme la météo qui connaît de nombreux changements climatiques régulièrement, même infimes) peut conduire à un autre système complètement différent quelques jours plus tard.

L’illustration la plus connue est celle appelée « effet papillon » qui dit « qu’un battement d’ailes d’un paillon au Brésil peut provoquer un ouragan ou une tornade en Asie ».

En d’autres termes, les choses les plus insignifiantes peuvent avoir un impact insoupçonné sur notre environnement proche et moins proche.

D’ailleurs, on associe souvent les maths et la séduction !

C’est la multiplicité des facteurs qui rend tout événement imprévisible.

L’identité d’Euler

L’identité d’Euler est considérée comme «  la plus belle des équations » des cours de maths car elle met en scène une combinaison improbable de 5 constantes mathématiques.

Une intégration le long d'une ligne de courant de cette équation permet d'obtenir l'équation de Bernoulli. L'équation d'Euler dérive du principe fondamental de la dynamique, \textstyle \sum \vec \mathrm{F} = m \cdot \vec a, appliqué à une particule fluide (forme locale) . L’équation d’Euler (établie par Leonhard Euler en 1755) s’applique dans le cas d’un fluide parfait.

Pourquoi admire-t-on cette équation ? Parce qu’elle utilise 3 des opérations fondamentales en arithmétique : l’addition, la multiplication et l’exponentiation.

Les 5 constantes représentées sont le  « 0 » qui est l’élément neutre de l’addition, le « 1 » qui est l’élément neutre de la multiplication, le fabuleux nombre pi, le « e » qui est la base des logarithmes (et qui apparaît souvent en analyses et calculs différentiels) et le « i » qui est l’unité imaginaire, source des nombres complexes que l’on retrouve dans les équations à 3 inconnues.

Cette équation, qui décore le Palais de la découverte à Paris, a ouvert la voie au développement de la topologie, une branche des maths modernes.

La transformée de Fourier

La transformée de Fourier découpe le temps en plusieurs fréquences et ondes simples comme un prisme déconstruit la lumière en plusieurs couleurs.

La transformée de Fourier s'exprime comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences. La transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques.

Un autre exemple pourrait être un champ magnétique ou un champ acoustique que l’on définit comme un signal, la transformée de Fourier est son spectre : elle déstructure le champ acoustique ou magnétique.

Comment filtrer les ondes que l'on ne peut voir ? Le thoèrme de Fourier répond à la question. Pochette du disque « Dark Side of the Moon » de Pink Floyd

Cette théorie a bouleversé notre monde car, soudain, il était possible de comprendre la structure des ondes plus complexes comme l’est la parole humaine.

Aujourd’hui, on retrouve cette théorie qui date de 1822 au cœur des traitements modernes du signal et de l’analyse ainsi que dans le traitement des données.

Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell décrivent comment interagissent les charges électriques mais aussi les courants électriques et les champs magnétiques.

Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous forme d'équations intégrales. Elles donnent ainsi un cadre mathématique précis au concept fondamental de champ introduit en physique par Faraday dans les années 1830. Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique.

C’est une mise en abîme du comportement et de la relation entre l’électricité et le magnétisme.

Ce sont des lois essentielles et fondamentales de la physique d’aujourd’hui.

Il existe 4 formes des équations de Maxwell :

  • Equation de Maxwell-Gauss
  • Equation de Maxwell-Thomson
  • Equation de Maxwell-Faraday
  • Equation de Maxwell-Ampère

Le 2nd principe de la thermodynamique

Le 2nd principe de la thermodynamique (aussi connu sous le nom de principe de Carnot qui l’énonça en 1824) prouve de manière irréfutable que les phénomènes physiques sont irréversibles, notamment lorsqu’il y a des changements thermiques.

Premier principe de la thermodynamique : principe de conservation de l'énergie ; introduction de la fonction énergie interne, U. Deuxième principe de la thermodynamique : principe d'évolution ; création d'entropie, S. Troisième principe de la thermodynamique ou principe de Nernst : l'entropie d'un corps pur est nulle à T = 0 K. Les principes de la thermodynamique sont les principales lois (principes en fait, car non démontrées) qui régissent la thermodynamique.

Ce principe fut remanié et reformulé à diverses reprises et c’est Ludwig Boltzmann en 1873 avec Max Planck qui le popularisa à grande échelle.

Alors que 1er principe de la thermodynamique établit une équivalence des différences formes d’énergie  dont la chaleur et le travail (principe de conservation), le second principe introduit un autre système appelé l’entropie.

C’est un principe d’évolution car il détermine dans quelle direction les possibles transformations énergétiques du monde sont réalisables.

Par conséquent, certaines transformations chimiques sont possibles tandis que d’autres ne le seront jamais.

Concrètement, si vous mettez un glaçon dans votre tasse de café chaud, vous verrez le cube de glace en train de fondre mais jamais le café se geler.

L’équation de Schrödinger

Si l’on devait illustrer ce que sont les maths et la mécanique quantique, l’équation de Schrödinger en serait le parfait exemple.

Elle décrit l'évolution dans le temps d'une particule massive non relativiste, et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique. L’équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en mécanique quantique.

Comme la théorie de la relativité générale d’Einstein a pu expliquer l’Univers à grande échelle, cette équation apporte un éclairage sur le comportement des atomes et des particules subatomiques.

L’équation de Schrödinger explique l’évolution dans le temps d’une particule. Elle décrit les états de cette particule à partir desquels il est possible de décrire tous les états composés de particules.

Jusqu'où ira la recherche mathématique ? Erwin Schrödinger qui interroge le monde

Cette équation pose une véritable question philosophique à savoir : la matière est-elle constituée de présences d’états possibles (gaz, solide, liquide) ? N’y a-t-il pas autre chose ?

L’application de cette équation se retrouve dans la technologie moderne comme l’énergie nucléaire, les ordinateurs à semi-conducteurs et les lasers.

Comme on peut le voir à travers le temps et surtout depuis le 18 et le 19e siècle, les équations mathématiques ont su transformer le monde dans lequel nous vivons, elles nous servent tous les jours dans notre quotidien, en cours de maths ou de manière plus ou moins directes.

Quelle sera la prochaine innovation mathématique ? Quelle nouvelle révélation mathématique va encore une fois venir chambouler nos conceptions de la vie telle que nous nous représentons ?

Superprof reste sur le qui-vive et vous en fera part, soyez-en certain !

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Villefosse
Invité
Villefosse

Sauf erreur l’énoncé du théorème de Pythagore est erroné… il faut lire « la somme des CARRES des longueurs des deux autres côtés. » Bonne année et merci pour cet article très intéressant.

einstein
Invité
einstein

trop cool 🙂

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